III. Плоское движение. Движение по поверхности

301. Общие положения.

Очевидно, что все вышеизложенное прилагается к движению на плоскости или к более общему случаю, — движению на поверхности, при условии использования двух координат вместо трех. Функция

зависит тогда от и уравнение Якоби имеет вид

Если известен полный интеграл с двумя произвольными постоянными из которых ни одна не является аддитивной, то конечные уравнения движения будут

Если система координат определена независимо от времени и если функция не зависит явно от времени, то время не будет входить в коэффициенты уравнения . Тогда можно положить

где полный интеграл уравнения

с неаддитивной постоянной Уравнения движения будут тогда

причем первое из них является уравнением траектории. Кроме того,

Траектории, получающиеся при изменении а, нормальны к кривым

Рассуждения, совпадающие с изложенными ранее для движения свободной точки, позволяют установить и эту теорему.

Условие ортогональности скорости и перемещения будет

На поверхности в рассматриваемом случае будем иметь

Кроме того,

Условие (а) можно тогда написать так:

или

Чтобы установить, что траектории ортогональны к кривым

достаточно показать, что скорость точки ортогональна к перемещению лежащему на этой кривой, т. е. к перемещению, удовлетворяющему соотношению

Но по теореме Якоби и равны , следовательно, условие влечет за собой условие ортогональности .