142. Пример существования бесчисленного множества положений равновесия.

Нить закреплена в двух точках оси и каждый элемент, нити отталкивается от оси силой, пропорциональной его длине и

расстоянию от этого элемента до оси.. Эта задача возникает при нахождении положения равновесия невесомой нити, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси Ох («прыгалки»).

Так как все силы, действующие на нить, пересекают ось то момент сил натяжения относительно этой оси постоянен вдоль всей нити. Но так как нить прикреплена к двум точкам оси, то момент сил натяжения на концах равен нулю. Следовательно, этот момент будет равен нулю всюду, и мы имеем

откуда

где — постоянная. Отсюда видно, что фигура равновесия находится в плоскости, проходящей через ось Примем ее за плоскость . Тогда сила, действующая на элемент будет перпендикулярна к оси пропорциональна ординате у и будет отталкивающей

Уравнения равновесия будут

Из первого уравнения имеем где постоянную А можно всегда считать положительной, отсчитывая дугу в направлении, в котором х возрастает вместе с Подставляя это значение Т во второе уравнение и полагая

приведем его к виду

Интегрируя это уравнение, получим

где постоянная должна быть обязательно положительной, так как левая часть уравнения положительна. Уединяя радикал, возводя уравнение в квадрат и заменяя у его значением , получаем

Так как нить прикреплена к оси то уравнение должно иметь вещественное значение для у, когда следовательно, Обозначая через стоящий под радикалом многочлен четвертой степени, получим

Величина у, начиная от нуля, может изменяться только в пределах

Построим кривую. Допустим, что нить закреплена в точке О (рис. 94) и что она расположена в углу Тогда х сначала возрастает вместе с положительно и

Когда у возрастает, х тоже возрастает, причем до тех пор, пока у не сделается равным Тогда х достигает значения

Таким путем получается ветвь Касательная в горизонтальна. Начиная с этого значения, у убывает, и для того, чтобы х продолжало возрастать, необходимо взять перед знак — Так получается вторая ветвь симметричная с первой ветвью относительно ординаты так как одинаковым изменениям у отвечают одинаковые изменения х. При получается точка с абсциссой После этого у, становясь отрицательным, может убывать до значения При этом абсцисса будет все время возрастать до значения что соответствует точке в которой касательная горизонтальна. После этого у снова возрастает от до Начиная от точки необходимо брать перед радикалом знак и получится дуга пересекающая ось в точке с абсциссой 4? и т. д. Все получаемые таким образом последовательные волны тождественны с первой, и кривая аналогична синусоиде.

Рис. 94.

Уравнения легко интегрируются в эллиптических функциях. Положим в уравнении кривой

Тогда оно принимает вид

откуда

Дифференциал дуги кривой будет

Сделав в этой формуле подстановку (1), мы получим для абсциссы точки и для длины X дуги следующие два выражения:

так как для точки величина равна 1.

Когда X и даны, причем X должно быть больше, чем , так как дуга больше своей проекции то постоянные величины имеют единственную систему значений при условии, что . В самом деле, вычисляя имеем

Рис. 95.

При отношение в правой части равно нулю; при увеличении числитель будет, очевидно, возрастать, а знаменатель убывать и, следовательно, отношение будет возрастать. При оно обратится в единицу. Таким образом, это отношение проходит один и только один раз через заданное значение Следовательно, постоянная будет иметь одно и только одно значение. Тогда из выражения (2), написанного для , получим для а единственное значение

Определение постоянных. Так как нить имеет заданную длину и закреплена в точке О и в точке О оси с абсциссой а, то может представиться бесчисленное множество случаев.

1°. Нить имеет только одну полуволну между (рис. 95). Тогда равно половине половине I. Величины и X известны и постоянная имеет значение, определяемое формулой (3); после этого

2°. Нить имеет две полуволны между . Тогда а к имеет то же значение, что и в предыдущем случае, так как — имеет то же значение После этого

3°. Вообще, если нить имеет полуволн между О и О, то имеет всегда одно и то же значение, но

Следовательно, существует бесчисленное множество положений равновесия, которые все подобны первому относительно точки О с отношением подобия (См. Аппель и Лякур, Theorie des fonctions elliptiques.)