249. Движение математического маятника в сопротивляющейся среде.

Если не пренебрегать сопротивлением среды, в которой происходит движение, то достаточно к силам и действующим на точку, добавить третью силу направленную по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, и возрастающую вместе со скоростью.

Уравнение кинетической энергии или первое естественное уравнение

представится тогда в виде

в котором силы спроектированы на касательную, направленную в сторону положительных дуг.

1°. Рассмотрим случай малых колебаний в среде, в которой сопротивление пропорционально скорости. При этих предположениях имеем

и уравнение движения после замены на В примет вид

Это уравнение одинаково пригодно как для восходящего движения, так и для нисходящего, так как знак силы изменяется с направлением движения. Уравнение движения является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования положим

и тогда для нахождения получим уравнение

Если предположить сопротивление небольшим, то оба эти корня будут комплексными и мы можем написать

так что общий интеграл уравнения движения будет

Угловую скорость найдем из равенства

Рис. 158.

Допустим, что движущаяся точка опускается без начальной скорости из положения пусть — угол начального отклонения. Полагая в предыдущих формулах мы видим, что

При этих значениях постоянных для угловой скорости получим

Движущаяся точка, выходя из опишет дугу окружности и дойдет до точки (рис. 158), в которой скорость обращается в нуль. Продолжительность этого полуразмаха есть первое значение переменной обращающее в нуль После этого точка будет двигаться обратно до положения в которое она придет к моменту и т. д.

Колебания будут изохронными, как и в пустоте, но продолжительность каждого из этих колебаний несколько увеличится, так как , следовательно,

Для изучения изменения амплитуды возьмем снова выражение, для

Полагая найдем

Следовательно, . К моменту будет и т. д. Следовательно, амплитуды изменяются по закону геометрической прогрессии со знаменателем

2°. Уравнение движения легко интегрируется в случае колебаний с конечной амплитудой и в случае сопротивления, пропорционального квадрату скорости. Для восходящего движения имеем

а уравнение нисходящего движения получится, если заменить величиной Примем за новую переменную Имеем

и уравнение движения станет линейным относительно

Уравнение без правой части имеет общий интеграл Будем искать частный интеграл полного уравнения в виде Легко видеть, что для того, чтобы удовлетворялось предложенное уравнение, достаточно взять

и общий интеграл будет

Отсюда можно найти 0 при помощи квадратуры, которая для случая очень малых амплитуд может быть выполнена в конечной форме.