223. Сила есть функция только расстояния.

Исследуем полнее важный случай, когда

Уравнение (2) интегрируется сразу, и мы получаем

Чтобы найти зависимость между заменим его значением (3) и мы получим уравнение вида

Следовательно, определяется простой квадратурой. После этого легко найдется уравнение траектории; в самом деле, из уравнения (1) имеем

и для нахождения 6 надо выполнить квадратуру.

Теперь нужно определить знак, который следует брать перед корнем. Он определяется следующими условиями. Известно, что проекция скорости на радиус-вектор равна знание начальной скорости позволяет знать знак величины вначале надо брать перед корнем этот знак и сохранять его до тех пор, пока не обратится в нуль, а затем определится и знак, который нужно будет взять впоследствии. Никакой трудности не возникает, когда равно нулю, т. е. когда начальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору. Тогда рассмотрим уравнение движения по радиусу-вектору; начальная скорость этого движения равна нулю, и это движение будет происходить так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила была равна если эта воображаемая сила вначале положительна, то будет вначале возрастать и нужно брать знак плюс; если она отрицательна, то будет сначала уменьшаться и нужно брать знак минус. Допустим, наконец, что

В этом случае для наблюдателя, связанного с радиусом-вектором, точка остается неподвижной, так как она движется по радиусу-вектору так, как если бы он был неподвижен, а точка предоставлена самой себе в положении, в котором воображаемая сила равна нулю. Траектория будет окружностью радиуса и в силу закона площадей движение будет равномерным.

Посмотрим теперь, какие начальные условия нужно сообщить точке, чтобы осуществить это круговое движение. Необходимо, чтобы начальная скорость была перпендикулярна радиусу-вектору, т. е. чтобы откуда и чтобы откуда, заменяя С его значением найдем

Это значение будет вещественным только тогда, когда отрицательно, т. е. когда сила — притягивающая.

Пример. Наиболее важными приложениями предыдущей теории являются случаи, когда сила пропорциональна расстоянию и когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Второй случай будет подробно рассмотрен в теории движения планет; займемся здесь первым случаем и рассмотрим сначала точку, притягиваемую точкой О (рис. 145) с силой, пропорциональной расстоянию;

Рис. 145.

Вышеизложенные общие методы позволяют найти уравнение траектории и время. Но проще исходить из уравнений движения

которые будут такими же и в косоугольных координатах. Общие интегралы этих линейных уравнений с постоянными коэффициентами будут

где — проекции на оси координат скорости движущейся точки в момент t = 0 (п. 211). Если, в частности, принять за ось начальный радиус вектор, а за ось прямую, параллельную начальной скорости, то получим

откуда для траектории находим уравнение

являющееся уравнением эллипса, отнесенного к двум сопряженным диаметрам где длины Продолжительность обращения по эллипсу равна Так как за начальный момент времени может быть принят произвольный момент, то мы видим, что скорость точки в произвольном положении равна где У — длина полудиаметра, параллельного скорости, т. е. сопряженного радиусу-вектору.

Если движущаяся точка отталкивается центром О пропорционально расстоянию, то получатся уравнения движения, которые могут быть выведены из предыдущих заменой коэффициентом Следовательно, выбрав оси, как и выше, получим

Траектория будет гиперболой

с центром в точке О. Скорость в какой-нибудь точке будет по-прежнему равна произведению на длину полудиаметра, параллельного скорости.