I. Канонические уравнения. Теорема Якоби

292. Преобразование Пуассона и Гамильтона.

Пуассону принадлежит идея принять за переменные величины

Эти уравнения, будучи линейными относительно так как Т есть квадратичная функция этих величин, могут быть разрешены относительно в виде:

Посмотрим, во что обратятся уравнения Лагранжа, если в них заменить этими выражениями.

Прежде всего, первые члены уравнений обратятся просто в

Для преобразования второго члена — дадим в выражении Т переменным произвольные бесконечно малые приращения оставляя переменную постоянной. При этом величины получат приращения определяемые соотношениями (3), в которых остается постоянным.

Тогда функция Г, зависящая от и получит приращение , определяемое формулой

или в силу уравнений (2)

что можно написать так

Полагая для краткости

представим это равенство в виде

что является первым выражением для дифференциала . С другой стороны, допустим, что К выражено при помощи системы новых переменных Когда получают рассматриваемые произвольные приращения, тогда определяется формулой

Это выражение должно совпадать с первым, каковы бы ни были Следовательно,

В этих уравнениях частные производные берутся в предположении, что Т выражено через а К выражено через . В силу уравнений (4) уравнения Лагранжа (1) принимают вид

Рассмотрим разность

Функция зависящая только от выражается через и через переменные в то время как К зависит от времени, от переменных и еще от переменных Таким образом, имеем

и уравнения (5), если полагать последовательно , обратятся в следующие:

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они будут первого порядка и число их равно шести. Они определяют шесть переменных в функции времени и шести произвольных постоянных. Для определения движения системы достаточно найти значения параметров в функции времени, так как только они участвуют в определении положения точки.

293. Частный случай, когда выражения х, у, z через q1, q2, q3 не содержат явно времени.

Вычисления упрощаются, если определение новых координат не зависит от времени, т. е. если выражения через не содержат Тогда будет

В самом деле, в этом случае Т будет однородной функцией второго порядка относительно и мы получим (пп. 261, 265, 283)

Но на основании уравнений (2) левая часть представляет собой не что иное, как Следовательно,

и функция Гамильтона Н принимает вид

В этом случае преобразования, которые надо выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через к форме Т, выраженной через совпадают с теми, которые надо выполнить для перехода от квадратичной формы к форме сопряженной, как, например, для перехода от уравнения конического сечения в точечных однородных координатах к его уравнению в однородных тангенциальных координатах.

Если положить

или в более сжатой форме

то получим

Отсюда, обозначая через дискриминант квадратичной формы, т. е. определитель девяти величин а через минор, соответствующий элементу получим

и поэтому

294. Примечание.

Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда Т будет однородной функцией второго порядка, т. е. квадратичной формой относительно и определитель из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (2) будет дискриминантом этой квадратичной формы. Если он равен нулю, то можно найти систему значений для не равных одновременно нулю, для которых все частные производные от Т относительно этих переменных обращаются в нуль. Но это невозможно, так как на основании соотношения

эти значения переменных обратят в нуль и функцию Т, а так как Т является кинетической энергией, то оно не может обратиться в нуль при вещественных значениях т. е. при действительном движении точки. Мы видим, таким образом, что рассматриваемый определитель действительно всегда отличен от нуля и разрешение уравнений (2) всегда возможно.

Если выражения через содержат явно время, т. е.

то кинетическая энергия

будет больше однородной относительно Но определитель коэффициентов при в уравнениях (2) будет тогда дискриминантом квадратичной формы

получаемой, если взять в Т члены второго порядка. Этот дискриминант не может быть равен нулю, ибо в противном случае функция обращалась бы в нуль при вещественных значениях не равных нулю одновременно. Но тогда существовало бы возможное перемещение точки, получающееся, если, оставляя постоянным, изменить и для этого перемещения возможная кинетическая энергия была бы равна нулю, что невозможно.

295. Интеграл кинетической энергии.

Мы видели раньше, что в случае, когда существует силовая функция , имеется интеграл кинетической энергии вида

Мы убедились в этом (пп. 261, 265, 283), предполагая, что выражения х, у, z через не зависят от времени. Таким образом, получается первый интеграл канонических уравнений, который может быть выведен из них непосредственным вычислением.

Чтобы убедиться в этом, предположим по-прежнему, что выражения х, у, z через не содержат . В этом случае ни Т, ни ни Н, которое равно не содержат Если теперь предположить, что в функции Н параметры и величины заменены выражениями, которые они должны принять в функции времени в силу уравнений (6), то на основании теоремы о сложных функциях получим

Но на основании канонических уравнений имеем

и остается

Если выражения через зависят от времени, то Н не будет больше равно и не будет существовать интеграл . В этом случае Н будет содержать явно время и полная производная взятая в предположении, что рассматриваются как функции будет содержать еще один член, а именно: частную производную от функции Н по содержащейся в ней явно переменной и после предыдущих сокращений получится

296. Пример. Центральная сила — функция расстояния.

Приведем для примера к каноническому виду уравнения движения точки на плоскости под действием центральной силы, являющейся функцией расстояния. Примем центр сил за начало координат и введем полярные координаты и 0, которые будут играть роль параметров Полагая массу равной единице, получим для кинетической энергии выражение

Силовая функция является функцией переменного Так как Т однородно относительно , то

Переменные определяются уравнениями

откуда получаем

Следовательно, выражение Н в этих новых переменных будет иметь вид и канонические уравнения будут

Эти уравнения определяют в функции Из последнего

уравнения имеем , подставляя во второе, получим что является уравнением площадей. Исключая из первого и третьего и заменяя величиной С, получим уравнение

которое было выведено непосредственно в главе XI, как уравнение, определяющее движение по радиусу-вектору.

Теорема кинетической энергии выражается уравнением или