206. Примеры.

1°. Рассмотрим движущуюся в пустоте совершенно свободную тяжелую точку. Если ось направить вертикально вверх, то так как единственной силой, приложенной к точке, является вес, проекции которого суть

то по теореме кинетической энергии получаем уравнение

правая часть которого является полным дифференциалом, что показывает, как это уже отмечалось много раз, что вес имеет силовую функцию. Интегрируя, получим

Это уравнение показывает, что скорость принимает одно и то же численное значение всякий раз, когда точка находится на одной и той же высоте, т. е. возвращается на ту же поверхность уровня.

Вообще, если точка находится под действием вертикальной силы, являющейся функцией от то

откуда

Поверхностями уровня по-прежнему являются горизонтальные плоскости. Во всех этих движениях траектории являются плоскими кривыми пример).

2°. Рассмотрим точку М, притягиваемую неподвижным центром О по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Притягивающая сила имеет вид где — постоянная, а — расстояние Алгебраическое значение этой силы, отсчитываемой в направлении равно и, как мы видели в элементарная работа этой силы равна

Следовательно, по теореме кинетической энергии имеем

или

Поверхностями уровня являются сферы скорость принимает одинаковые численные значения на одинаковых расстояниях от притягивающего центра О.

Вообще, если точка М находится под действием центральной силы, являющейся функцией от и алгебраическое значение этой силы, отсчитываемое в направлении есть то

3°. Рассмотрим тяжелую точку притягиваемую неподвижным центром А по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния и отталкиваемую неподвижным центром пропорционально расстоянию (рис. 131). Направим ось вертикально вверх, так что элементарная работа веса равна — Если мы обозначим через расстояние то алгебраическое значение притягивающей силы отсчитываемой в

направлении есть а элементарная работа равна . Наконец, если мы обозначим через расстояние , то алгебраическое значение отталкивающей силы пропорциональной расстоянию, есть а ее элементарная работа равна По теореме кинетической энергии дифференциал равен элементарной работе равнодействующей приложенных к точке сил, т. е. сумме работ составляющих сил, и мы имеем

Рис. 131.

Правая часть этого равенства является полным дифференциалом, так что существует силовая функция; в этом можно было убедиться и заранее, на основании теорем, установленных в главе IV. Следовательно, интегрируя и деля на получим

Силовая функция здесь по-прежнему однозначна и скорость принимает одинаковые значения каждый раз, когда движущаяся точка проходит через одну и ту же поверхность уровня

Это — поверхности шестого порядка. Они приводятся к сферам, если равно нулю, т. е. если отбрасывается притягивающий центр А.