15. Изменение главного вектора и главного момента; инварианты; центральная ось.

Допустим сначала, что главный вектор отличен от нуля. Тогда главный момент будет отличен от если только точка О не находится на линии Но проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная. В самом деле, имеем

а левая часть этого равенства на основании значений X, Y, Z, L, M, N равна т. е. величине постоянной. Так как величина также постоянна, то

что и доказывает теорему.

Вследствие этой теоремы, каковы бы ни были начало и направления прямоугольных осей координат, величины

сохраняют постоянные значения. Эти величины называются инвариантами системы векторов.

Согласно определению скалярного произведения двух векторов (п. 3), можно сказать, что инвариант есть скалярное произведение главного вектора и главного момента относительно

произвольной точки пространства. Ниже (п. 21) будет дано другое замечательное геометрическое истолкование этого инварианта.

Так как главный вектор, по предположению, везде отличен от нуля, то можно найти такую точку , что главный момент будет направлен по той же прямой, что и главный вектор Для этого необходимо и достаточно, чтобы L, М, N были пропорциональны X, Y, Z:

Эти линейные относительно х, у, z уравнения указывают, что геометрическое место точек О есть прямая параллельная направлению главного вектора. Эта прямая называется центральной осью (рис. 13). Для какой-нибудь точки О этой оси главный вектор и главный момент будут лежать на этой оси и будут иметь одинаковые или противоположные направления в зависимости от того, будет ли величина положительной или отрицательной. При этом главный момент будет минимальным, так как он совпадает со своей проекцией на главный вектор.

В частности, если отлично от нуля, а инвариант

равен нулю, то проекция главного момента относительно произвольной точки на главный вектор равна нулю. Этот момент будет перпендикулярен главному вектору, а минимальный момент будет равен нулю.

Рис. 13.

Примечание. Умножая члены отношений (1) соответственно на X, Y, Z и складывая, получим для общего значения этих отношений величину

которая обращается в нуль, если минимальный момент равен нулю.

Случай, когда главный вектор равен нулю. В случае, когда главный вектор равен нулю, из предыдущих формул вытекает, что L, М, N будут равны L, М, N. В этом случае главный момент будет одинаковым во всех точках пространства.

Рассуждения, которые привели к понятию, центральной <си, в рассматриваемом случае теряют смысл. Можно условно принять в этом случае в качестве центральной оси любую прямую, параллельную главному моменту.