92. Точка, движущаяся без трения по неподвижной кривой.
Пусть задана неподвижная кривая С и на ней точка М, движущаяся без трения под действием сил, равнодействующая которых есть 
Так же, как и в случае точки, движущейся по поверхности, убеждаемся, что при равновесии сила 
если она не равна нулю, должна
быть нормальна к кривой. Если это условие выполнено, то сила 
будет уравновешиваться сопротивлением кривой, и равновесие будет иметь место.
Действие кривой на точку выражается нормальной силой 
которая называется нормальной реакцией. Точка М оказывает на кривую давление, равное и противоположное этой реакции. Если точка находится в равновесии, то нормальная реакция равна силе 
но противоположна ей, а давление точки на кривую есть сама сила (рис. 66).
Пусть
— уравнения кривой, отнесенной к трем прямоугольным осям, и X, Y, Z — проекции равнодействующей 
сил, приложенных к точке 
. Для того чтобы выразить, что имеет место равновесие, достаточно написать, что сила 
равна и прямо противоположна нормальной реакции 
Эта последняя может быть всегда разложена на две другие, направленные по нормалям 
и 
к двум поверхностям 
пересечение которых определяет заданную кривую, так как все три направления 
и 
лежат в одной нормальной плоскости. Эти две составляющие 
и 
реакции имеют соответственно проекции
Рис. 66.
Так как реакция и сила 
находятся в равновесии, то
Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют пять неизвестных 
Можно упростить вычисления, если положить, что координаты точки кривой выражены в функции одного параметра 
при помощи уравнений
Направляющие косинусы касательной пропорциональны производным 
и условие равновесия получится, если приравнять нулю величину
которую мы обозначим через 
Каждому значению 
обращающему 
в нуль, соответствует положение равновесия. В рассматриваемом
случае отыскание положений равновесия всегда приводится к отысканию максимума и минимума функции, зависящей только от одной переменной. Положим
где в первом интеграле для того, чтобы он совпал со вторым, нужно заменить величины 
их выражениями через 
Условие равновесия получится, если отыскивать те значения 
которые обращают в нуль производную от 
по 
т. е. если искать максимум и минимум функции 
Если существует силовая функция 
, то функция 
получится, очевидно, заменой величин 
их выражениями через 
. В этом случае поверхность уровня, проходящая через положение равновесия 
касается в этой точке кривой. В дальнейшем, при помощи общего метода мы покажем, что действительным максимумам функции 
отвечают положения устойчивого равновесия. В виде упражнения (задача 7 в конце главы) мы укажем частный метод, позволяющий убедиться в справедливости этого предложения и основанный на том, что точка, предоставленная самой себе на кривой, стремится перемещаться по ней в сторону возрастания U.
