275. Упражнение. Геодезические линии поверхности, образованной вращением равносторонней гиперболы вокруг своей асимптоты.
Уравнение поверхности будет
Поэтому в приведённых выше формулах нужно заменить 
через — и для проекций геодезических линий получится уравнение
Для того чтобы 
было вещественным, необходимо, чтобы 
было больше 
следовательно кривая находится вне круга радиуса 
. Можно,
однако, полагать 
так как при этом значении подынтегральное выражение обращается в бесконечность вместе с 
и интеграл остается конечным. Повернув оси на подходящий угол вокруг оси 
(рис. 168), можно добиться того, чтобы 
равнялось нулю при 
и мы получим
Начиная от значения 
может неограниченно возрастать без нарушения вещественности 
; при этом 
, возрастая вместе с 
будет иметь некоторый предел, так как при неограниченном возрастании 
подынтегральное выражение стремится к нулю, как и 
Этот предел Ф будет
Рис. 168.
Чтобы узнать, существует ли асимптота, параллельная этому направлению 
достаточно, как известно, выяснить, будет ли полярная подкасательная 
иметь предел при бесконечном 
Этот предел, если он существует, равен расстоянию от полюса до асимптоты. В данном случае выражение
имеет предел 
Следовательно, кривая имеет асимптоту 
касающуюся окружности радиуса к. Можно доказать, что угол 
больше, чем 
Полагая для этого 
имеем
Если 
то 
когда 
уменьшается, этот угол увеличивается, и если предположить, что 
становится очень малым, то подынтегральное выражение будет становиться все большим и большим и 
будет неограниченно возрастать. Следовательно, 
имеет какое-то значение, заключенное и между 
. Взяв перед интегралом знак 
мы получим вторую ветвь кривой, симметричную первой относительно оси х.
Таким же путем можно исследовать геодезические линии поверхностей вращения второго порядка, детальный анализ которых можно найти в Traite des fonctions elliptiques, т. II, глава VI, Альфена. Для произвольных поверхностей вращения получается, что если меридиан имеет бесконечные ветви, то и геодезические линии имеют бесконечные элементы. Если на поверхности имеется самая короткая параллель, то эта параллель будет геодезической линией, и в общем случае будут существовать геодезические линии, асимптотически к ней приближающиеся. Для подробного изучения этих кривых отсылаем к Legons sur la theorie des surfaces Дарбу (часть 3).
