100. Другая форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо а достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю. Это условие является, очевидно, необходимым. Оно также и достаточно. В самом деле, допустим, что оно выполняется для тетраэдра Тогда, так как суммы моментов относительно трех ребер выходящих из вершины А, равны нулю, то и главный момент относительно точки А равен нулю. Следовательно, все силы либо приводятся к одной равнодействующей, проходящей через точку А, либо находятся в равновесии. Так как эти рассуждения справедливы для каждой вершины, то силы находятся в равновесии, ибо они не могут иметь равнодействующую, проходящую одновременно через четыре вершины.

В качестве приложения докажем, что четыре силы, приложенные в четы вершинах тетраэдра (рис. 67), пропорциональные площадям противоположных граней и направленные нормально к ним, находятся в равновесии. Для этого покажем, что суммы моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равны нулю.

В самом деле, пусть силы, приложенные к вершинам тетраэдра. Тогда

Возьмем моменты относительно ребра моменты сил у и равны нулю, моменты сил противоположны по знаку. Так как сила а направлена по высоте то угол между — прямой, и кратчайшим расстоянием между является перпендикуляр опущенный из А на следовательно, абсолютное значение момента силы а относительно равно

где V — объем тетраэдра и - двугранный угол при ребре Такое же абсолютное значение имеет и момент силы Следовательно, сумма моментов относительно произвольно взятого ребра равна нулю.