141. Центральные силы.
Фигура равновесия является плоской кривой и ее плоскость проходит через точку пересечения сил; момент сил натяжения относительно этой точки постоянен.
Эти предложения могут быть рассматриваемы как следствия аналогичных предложений, установленных для веревочных многоугольников, но мы установим их непосредственно.
Мы видели 
что если момент силы 
относительно оса равен все время нулю, то момент силы натяжения относительно этой оси постоянен.
Так как внешние силы пересекаются в одной точке, то мы можем принять эту точку за начало координат. По юлько что высказанной теоремо, примененной к трем осям координат, имеем;
Умножая эти уравнения соответственно на 
и почленно складывая, получим
Рис. 93.
Следовательно, кривая равновесия является плоской и ее плоскость проходит через начало координат.
Если эту плоскость принять за плоскость 
и обозначить через 
силу, отнесенную к единице длины, считая ее положительной, если она отталкивающая, и отрицательной, если она притягивающая, то проекции этой силы будут
Уравнения равновесия могут быть преобразованы следующим образом (рис. 93).
Уравнение моментов относительно оси 
как мы установили, дает
С другой стороны, имеем
Вводя полярные координаты 
, мы приведем эти уравнения к виду
Наиболее простым будет случай, когда 
есть функция от 
вида 
Тогда будет существовать первый интеграл, который легко найти. В самом деле, так так сила 
потенциальная, то Т получается при помощи квадратуры
Имея силу натяжения, легко найти дифференциальное уравнение кривой равновесия. Для этого нужно подставить значение Т в первое уравнение, которое после этого примет вид
Это уравнение интегрируется в квадратурах. Действительно,
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, предварительно возведенное в квадрат, и разрешая относительно 
получим уравнение кривой
Если, например, положить 
— постоянная), то
и уравнение кривой будет содержать эллиптический интеграл. Но если приписать силе Т значение 
то искомая кривая будет равносторонней гиперболой с центром в точке 
.
Естественное уравнение. Пусть 
- угол между касательной к нити и продолжением радиуса-вектора 
Расстояние от полюса О до касательной равно 
(рис. 93). Условие того; что момент силы натяжения постоянен, будет иметь вид
Далее, написав, что проекция силы 
на нормаль равна 
получим
Исключая Т из этих двух уравнений, получим дифференциальное уравнение кривой в виде
