298. Частный случай, когда t не входит явно в коэффициенты уравнения Якоби.

Такой случай имеет место в механике, когда выражения через не содержат явно времени и когда имеется силовая функция Тогда, как мы видели в

где Т — квадратичная форма от . В этом случае можно удовлетворить уравнению Якоби функцией V вида

где — постоянная, функция от но не от

Подставляя эту функцию V в уравнение Якоби и замечая, что

мы получим для определения уравнение

Достаточно будет определить полный интеграл этого уравнения содержащий, кроме две постоянные а и из которых ни одна не является аддитивной. Тогда, приняв

получим полный интеграл уравнения Якоби с тремя постоянными играющими роль постоянных

Интегралы уравнений движения, если через обозначить другие постоянные, играющие роль будут тогда иметь вид:

Первые два уравнения не содержащие определяют траекторию движущейся точки в системе координат Третье уравнение определяет время, затрачиваемое для прихода в какое-нибудь место на этой траектории.

Постоянная будет тогда постоянной интеграла кинетической энергии. Действительно, уравнение в силу значений величин в уравнении обращается в следующее:

т. е. в интеграл кинетической энергии (п. 295).