Уравнение Якоби, если в нем положить 
будет, следовательно,
или
Приравняв каждую из этих двух величин одной и той же постоянной 
, легко получим полный интеграл 
образованный суммой двух функций, из которых одна зависит только от 
а другая только от 
Этот интеграл есть
Уравнение геодезических линий будет тогда — а время определится из формулы 
Так как по теореме кинетической энергии скорость точки постоянна, то
Второе соотношение определяет дугу геодезической линии.
Приложим этот метод к эллипсоиду. Пусть
- уравнение эллипсоида с тремя неравными осями. Рассмотрим софокусные поверхности
Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям 
величины X (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению 
и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям 
величины X. Мы примем эти два параметра 
за координаты точки М на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые 
являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины 
в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида
Так как сейчас 
то 
Тогда, заменяя 
их значениями при 
получим
Эта величина 
действительно имеет форму, данную Лиувиллем, причем
Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и 
в виде однозначных функций некоторого параметра.
Более подробные сведения о поверхностях Лиувилля можно найти в «Lefons sur la Theorie generale des surfases» Дарбу (часть 3, глава I) и в премированной работе Кёнигса (Savants etrangers, 1894).
может быть представлен в форме
и зависят только от 
и 
только от 
Чтобы получить геодезические линии, достаточно найти траектории материальной точки массы 1, движущейся по поверхности и не подверженной действию никакой силы. Тогда
