246. Движение тяжелой точки по неподвижной кривой.

Возьмем три прямоугольные оси, причем ось направим вертикально верх. Проекции силы равны (рис. 155)

элементарная работа силы тяжести есть и уравнение

кинетической энергии будет

что можно написать в виде

где обозначено

Рассмотрим плоскость II, уравнение которой . Расстояние от движущейся точки до этой плоскости равно так что скорость определяется формулой

Отсюда видно, что численное значение скорости будет такое, как при падении точки по вертикали из Р в М без начальной скорости.

Допустим, что рассматриваемая кривая замкнута. Могут представиться два случая в зависимости от того, будет ли плоскость П пересекать эту кривую или нет. Каково бы ни было начальное положение точки, ей всегда можно сообщить такую достаточно большую начальную скорость чтобы плоскость П была расположена сколь угодно высоко, так как

Допустим, что настолько велико, что плоскость П находится над кривой. Тогда скорость никогда не обратится в нуль и движущаяся точка будет бесконечное число раз оборачиваться по своей траектории. Движение будет периодическим, наибольшая скорость будет в наинизшей точке, а наименьшая — в наивысшей.

Допустим теперь, что плоскость П пересекает кривую. Пусть А и А — две последовательные точки пересечения. Допустим, что точка начинает движение из наинизшего положения дуги в сторону А. Легко видеть, что движущаяся точка подойдет к положению А сколь угодно близко; в самом деле, скорость между и В будет все время больше, чем где — расстояние от точки В до плоскости П, и точка обязательно придет в положение В за конечный промежуток времени. Если касательная в А не горизонтальна, то движущаяся точка достигнет этого положения. Действительно,

откуда

Будем отсчитывать дуги от положения а время от начального момента. Так как должно возрастать вместе с то в написанном уравнении нужно взять знак плюс, и мы получим

Если касательная в точке А не горизонтальна, то будет оставаться конечным при и подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка 1/2. Следовательно, этот интеграл остается конечным, когда стремится к а. Время Т, нужное для достижения точки А, будет тогда определяться формулой

После достижения положения А движущаяся точка будет возвращаться к куда она придет со скоростью и дальше будет двигаться по дуге аналогичным образом в течение времени если касательная в точке А не горизонтальна. Движение будет, следовательно, колебанием между точками А и А, и продолжительность каждого простого колебания будет

Можно указать два предела, между которыми должно заключаться Т; эти два предела будут тем ближе друг к другу, чем меньше дуга Если положить

то, как известно, будет

где — радиус кривизны и у — косинус угла, который образует этот радиус кривизны с осью этот косинус положителен, так как угол острый. Пусть и К—пределы для на рассматриваемой дуге; тогда между точками и А будет

откуда, интегрируя, заключаем, что

так как эта функция, обращающаяся в нуль при согласно предыдущему неравенству, монотонно убывает. Вследствие этого монотонно убывающей будет и первообразная функция Написав,

что она больше своего конечного значения, получим

где — длина дуги Заменяя в выражении для Т величину правой частью этого неравенства, получим

Точно так же, исходя из неравенства найдем

Если уменьшать начальную скорость таким образом, чтобы плоскость П приближалась к точке то обе величины будут одновременно стремиться к одному и тому же пределу, а именно, к значению в наинизшей точке, которое мы отметим индексом нуль. Поэтому, когда колебание будет иметь бесконечно малую амплитуду, продолжительность одного простого полуразмаха будет равна а продолжительность простого размаха будет равна если для части траектории величина имеет тот же предел, что и для части . В частности, если траектория является окружностью радиуса в вертикальной плоскости, то получится известное выражение для продолжительности бесконечно малого размаха

Вернемся теперь к колебаниям конечной амплитуды и рассмотрим случай, когда касательная в точке А горизонтальна. Вспомним формулу, определяющую время:

Когда стремится к а, тогда стремится к длине дуги а стоящие под знаком интеграла выражения и неограниченно возрастают. Приняв за независимую переменную, получим

Пусть X — порядок малости величины относительно вблизи Тогда подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка относительно Если то интеграл, определяющий будет неограниченно возрастать; если, напротив, то интеграл останется конечным. Первый случай представится для обыкновенной точки, для которой в этом можно убедиться, рассматривая как функцию от и разлагая ее по формуле Тэйлора вблизи и замечая, что обращается, по предположению, в нуль при Второй случай может представиться для точки возврата, для которой в общем случае Если, следовательно, А является обыкновенной точкой с горизонтальной касательной, то движущаяся точка будет неограниченно приближаться к этому положению, никогда его не достигая. Если А является точкой возврата, то движущаяся точка может достигнуть точки возврата А со скоростью, равной нулю, после чего она остановится в этом положении равновесия. Такой пример мы найдем в упражнении 5.