94. Силы внутренние и силы внешние. Шесть необходимых условий равновесия.

Любую материальную систему, образованную телами твердыми, жидкими или газообразными, можно рассматривать, как составленную из большого числа материальных точек, подчиненных некоторым связям. Так, например, твердое тело есть совокупность материальных точек, расстояния между которыми должны оставаться неизменными. Общие теоремы могут быть получены, если

написать уравнения равновесия для этих различных материальных точек и составить из них некоторые сочетания.

Внутренними силами системы называются силы взаимодействия между ее различными точками. По закону равенства действия и противодействия эти силы попарно равны и прямо противоположны. Например, если точка системы притягивает другую ее точку с некоторой силой, то, наоборот, точка притягивает точку с такой же силой, но противоположно направленной.

Силы, отличные от определяемых таким образом внутренних сил, называются внешними.

Пусть - координаты различных точек системы, массы которых Если рассматривать какую-нибудь одну из этих точек с массой и и с координатами то все приложенные к ней силы можно разбить на две категории. К первой относятся все внутренние силы, действующие на проекции какой-нибудь из этих сил мы обозначим через Ко второй категории относятся все внешние силы, действующие на ту же точку; проекции какой-нибудь из этих сил мы обозначим через . Точка может рассматриваться как совершенно свободная при условии, что принимаются во внимание все действующие на нее силы как внешние, так и внутренние. Для того чтобы она находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всех этих сил обращалась в нуль. Проектируя все силы на три оси, мы получим три уравнения равновесия

где знак означает, что нужно взять сумму проекций всех внешних или внутренних сил, приложенных к точке .

Допустим, что эти уравнения написаны для всех точек системы, и сложим почленно все уравнения, относящиеся к оси х. Получим

где знак означает, что сумма распространена на все силы, действующие на различные точки системы. Но согласно закону равенства действия и противодействия все внутренние силы попарно равны и противоположны. Следовательно, их проекций на ось х равна нулю, и предыдущее уравнение принимает вид

Аналогично получаем

Таким образом, получены три необходимые для равновесия условия, связывающие проекции внешних сил. Три других уравнения получатся, если ввести моменты.

Вернемся к уравнениям (1). Умножим первое из них на —у, второе на х и сложим. Имеем

Написав аналогичные уравнения для всех точек системы и почленно сложив их, получим

Но есть сумма моментов всех внутренних сил относительно оси Это выражение будет равно нулю, так как все внутренние силы попарно равны и прямо противоположны. Таким образом, мы приходим к уравнению

и аналогично к уравнениям

Полученные таким образом шесть необходимых условий (2) и (3) могут быть высказаны следующим образом.

Для того чтобы произвольная система находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций внешних сил на каждую из трех осей и сумма их моментов относительно каждой из этих трех осей равнялись нулю.

Эти условия можно высказать и в форме, не зависящей от каких бы то ни было осей, следующим образом.

Для того чтобы произвольная система находилась в равновесии, необходимо, чтобы внешние силы составляли систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.

Это условие можно выразить при помощи одного из методов первой главы. Можно, например, при помощи элементарных операций привести систему векторов к простейшему виду и окончательно получить или два равных и прямо противоположных вектора, или равные нулю главный вектор и главный момент.

Примеры. 1°. Представим себе сосуд с водой, находящейся в равновесии под действием силы тяжести. Рассматриваемая система образована частицами воды. Внутренними силами являются взаимодействия между этими

частицами. Внешними силами являются действия тел, не принадлежащих системе, на точки системы. Этими силами будут: 1) веса частиц воды; 2) действия стенок сосуда на соприкасающиеся с ними частицы; 3) давления, производимые воздухом на свободную поверхность. Для того чтобы имело место равновесие, необходимо, чтобы совокупность всех этих внешних сил образовывала систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.

2°. Вообразим тяжелую цепь, подвешенную своими обоими концами к двум неподвижным точкам А и В. Внешними силами, действующими на цепь, являются: 1) веса различных звеньев; 2) действия, вызываемые неподвижными точками А и В. Цепь тянет эти точки, и, наоборот, эти точки действуют на цепь двумя силами и приложенными на ее концах. Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы все внешние силы были эквивалентны нулю. Веса образуют систему параллельных векторов, эквивалентную одному вектору Р, равному весу цепи и приложенному в ее центре тяжести. Три вектора и и должны составлять систему, эквивалентную нулю.

3°. Твердое тело. Если рассматриваемая система является твердым телом, то указанные шесть необходимых условий равновесия будут также и достаточными, что будет показано в следующей главе.