284. Приложение.
Задача. Найти движение материальной точки, которая притягивается или отталкивается неподвижной осью с силой, являющейся заданной функцией расстояния (рис. 172).
Мы уже видели 
что в этом случае имеется силовая функция 
которую мы обозначим через 
Мы будем определять положение точки ее цилиндрическими координатами 
. Тогда получим
Вследствие этого, уравнения Лагранжа после сокращения на 
будут
Интегрируя два последних уравнения, получим
Заменим теперь первое уравнение Лагранжа интегралом кинетической энергии. Имеем
Рис. 172.
Если заменить здесь 
их значениями из равенств (1) и (2), то получим
Это — уравнение вида
из которого можно определить время простой квадратурой.
Можно было сразу написать уравнения (1), (2) и (3), не пользуясь уравнениями Лагранжа. В самом деле, так как сила все время пересекает ось 
то к проекции движения на плоскость 
применим закон площадей, что приводит к уравнению (1). Так как составляющая силы по оси 
равна нулю, 
и мы получаем уравнение (2). Наконец, уравнение (3) есть не что иное, как уравнение кинетической энергии.
Исключив из уравнений (1) и (2) время, мы получим дифференциальное уравнение
которому удовлетворяют траектории каков бы ни был закон сил. Если это уравнение написать в декартовых координатах, то получится
Такое уравнение уже встречалось в упражнении 6 в конце главы I как дифференциальное уравнение кривых, касательные к которым являются прямыми нулевого момента.
