23. Пары.

1°. Определение. Парой, по Пуансо, называют совокупность двух векторов Р и —Р, равных по модулю, параллельных и противоположно направленных. Расстояние (рис. 20) называется плечом пары, а произведение плеча на модуль

вектора Р называется ее моментом. Когда момент равен нулю, то и пара эквивалентна нулю. Действительно, в этом случае равны нулю либо оба вектора, либо плечо , а тогда оба вектора прямо противоположны.

Так как пара является системой векторов, для которой главный вектор равен нулю, то главный момент пары постоянен по величине и направлению для всех точек пространства. Этот главный момент называется векторным моментом пары. Векторный момент пары является, следовательно, вектором, имеющим определенный модуль и направление, но его точка приложения может быть выбрана в пространстве произвольно, другими словами, векторный момент пары является вектором свободным. Чтобы уяснить, каким является этот вектор, найдем главный момент относительно точки О, расположенной на плече между точками А и В. Моменты обоих векторов Р и — Р будут перпендикулярны к плоскости пары и одинаково направлены. так как оба вектора Р и —Р имеют, одинаковое направление вращения вокруг . Следовательно, главный момент т. е. векторный момент пары, перпендикулярен к плоскости пары и имеет модуль, равный или т. е. равный моменту пары.

Рис. 20.

Из предыдущего следует, что две пары с одинаковыми векторными моментами эквивалентны, так как они имеют одинаковые главные моменты и одинаковые, равные нулю, главные векторы. Следовательно, они могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных преобразований. Мы не входим здесь в подробности этого приведения. Оно может быть произведено, согласно указаниям

Мы ограничимся формулировкой следующего заключения:

Всегда можно при помощи элементарных операций преобразовать одну в другую две пары, имеющие одинаковые векторные моменты, т. е. две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие одинаковые моменты и одинаковые направления вращений.

2°. Сложение пар. Любое число пар всегда эквивалентно одной паре, векторный момент которой равен сумме векторных моментов слагаемых пар.

В самом деле, система, образованная парами есть система векторов, для которой главный вектор равен нулю. Главный момент этой системы будет, следовательно, одним и тем же для любой точки пространства (рис. 21).

Для нахождения этого главного момента относительно точки О можно поступить следующим образом. Возьмем сначала геометрическую сумму моментов векторов которая

равна векторному моменту первой пары, затем сумму моментов векторов равную векторному моменту второй пары, и так продолжаем до тех пор, пока не получим сумму равную векторному моменту последней пары. После этого полученные частичные суммы складываем вместе. Рассмотрим теперь пару с векторным моментом равным главному моменту. Эта одна пара эквивалентна системе всех заданных пар, так как эта пара и эта система имеют одинаковые главные моменты, равные , и одинаковые главные векторы, равные нулю.

Рис. 21.

Можно при помощи элементарных операций привести заданную систему пар к одной паре с векторным моментом Если то эта одна окончательная пара эквивалентна нулю и тогда вся заданная система тоже эквивалентна нулю.

Мы не будем здесь входить в подробности относительно тех элементарных операций, при помощи которых может быть осуществлено указанное сложение пар. Нам достаточно знать, что такое сложение осуществимо.