Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какой-нибудь системы значений 
функция 
имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Доказательство совпадает с данным ранее (п. 208) для свободной точки. Укажем его в немногих словах. Можно всегда предполагать, что максимум имеет место при 
так как это приведет к выбору новых параметров 
и что этот максимум 
равен нулю, так как это равносильно вычитанию из 
некоторой постоянной, что допустимо, поскольку эта функция определяется с точностью до постоянной. Согласно определению максимума, функция 
будет тогда отрицательной и отличной от нуля вблизи рассматриваемого положения равновесия Р. Проведем на поверхности малую замкнутую кривую С, окружающую Р. На этой кривой функция 
отрицательна и не равна нулю. Следовательно, существует такое малое положительное число 
что функция 
будет на кривой С тоже отрицательна. Сместим теперь точку из положения равновесия Р в близкое положение 
лежащее внутри С, где 
принимает значение 
и сообщим ей скорость 
Получим
Выберем начальное положение и начальную скорость так, чтобы выполнялись условия
что вследствие непрерывности потребует, чтобы 
и расстояние 
были меньше некоторых пределов. При этих условиях точка не выйдет за кривую С и даже ее не достигнет, так как из уравнения кинетической энергии получаем неравенство
а 
делается отрицательным на граничной кривой С.
соответствующих положению равновесия точки, необходимо составить два уравнения: 
. В частном случае, когда 
является дифференциалом функции 
уравнения равновесия совпадают с уравнениями, которые нужно написать при нахождении максимума или минимума функции 
