IV. Эквивалентные системы скользящих векторов. Элементарные операции. Приведение системы скользящих векторов

18. Определение эквивалентности.

Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если их главные векторы и главные моменты относительно некоторой точки пространства равны. Тогда будут одинаковыми главные моменты относительно какой угодно другой точки пространства. В частности, обе системы будут иметь одну и ту же центральную ось и один и тот же минимальный момент. Например, система сходящихся векторов эквивалентна главному вектору.

Пусть и — две системы скользящих векторов, — проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно начала О системы — аналогичные величины системы Условиями эквивалентности обеих систем являются равенства:

Рис. 15.

Система скользящих векторов, эквивалентная нулю. Говорят, что система эквивалентна нулю, если ее главный вектор и главный момент относительно какой-нибудь точки равны нулю. Эти величины будут тогда равны нулю и во всех других точках пространства. Эхвивалентность системы нулю выражается уравнениями

Возьмем для примера систему двух равных и прямо противоположных векторов, т. е. систему, образованную двумя векторами Р и —Р, равными и направленными в противоположные стороны вдоль прямой соединяющей их точки приложения (рис. 15). Эта система, очевидно, эквивалентна нулю. Наоборот, если система двух векторов Р и эквивалентна нулю, то эти векторы равны и

прямо противоположны. В самом деле, так как главный вектор равен нулю, то вектор равен и противоположен вектору Р. Далее, главный момент должен равняться нулю относительно произвольной точки. Примем в качестве нее точку А приложения вектора Р. Момент вектора Р относительно точки А равен нулю, и, следовательно, главный момент приводится к моменту и так как он должен быть равен нулю, то линия действия вектора проходит через точку А, что и доказывает предложение.

Так же, как и в алгебре, где разность двух равных величин равна нулю и наоборот, в теории векторов имеет место следующая теорема:

Для того чтобы две системы скользящчх векторов и били эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы система, образованная из векторов и векторов , после того как направления последних заменены на противоположные, была эквивалентна нулю.

В самом деле, если направления всех векторов системы заменить на противоположные, то в полученной новой системе главный вектор и главный момент относительно точки 0 будут отличаться от соответствующих элементов системы только направлением. Следовательно, проекции главного вектора и главного момента всей системы, образованной путем соединения систем (5) и будут

Рис. 16.

Но для того, чтобы две системы были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти величины равнялись нулю, что и доказывает теорему.

Мы приведем в статике (глава V) примеры наиболее важных систем векторов, эквивалентных нулю.