124. Условия на концах.

Указанные нами условия равновесия должны выполняться для любой части многоугольника. Крайние вершины веревочного многоугольника могут быть подчинены разного вида условиям, которые называются условиями на концах.

1°. Свободные концы. Может случиться, что веревочный многоугольник является свободным в пространстве и его концы свободны и находятся под действием заданных сил Допустим, для упрощения, что , следовательно, рассматривается многоугольник Тогда натяжения крайних звеньев известны.

В самом деле, так как находится в равновесии под действием и натяжения то это натяжение равно и противоположно Точно так же равно и противоположно Если построить многоугольник Вариньона, соответствующий полному веревочному ногоугольнику, то первое звено будет равно и параллельно второе равно и параллельно последнее равно и параллельно (рис. 80). Построенный таким образом многоугольник является многоугольником сил Этот многоугольник должен быть замкнутым, т. е. точка должна совпадать с точкой А, так как силы должны удовлетворять условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, и их главный вектор должен равняться нулю. Натяжения равны и параллельны диагонали многоугольника Вариньона.

Рис. 80.

2°. Концы закреплены в неподвижных точках. Необходимо тогда принять в качестве вспомогательных неизвестных.

силы представляющие действия неподвижных точек на концы и или, что то же, натяжения

3°. Веревочный многоугольник замкнут. Многоугольник замкнут, когда последняя точка непосредственно связана с первой при помощи нити. В этом случае можно применить общие условия равновесия и построение Вариньона ко всему многоугольнику, разрезав мысленно нить в двух точках Р и и приложив вдоль натяжение и вдоль натяжение Тогда надо будет провести через точку А вектор равный и параллельный натяжению и далее векторы равные и параллельные силам (рис. 81).

Натяжения нитей будут равны и параллельны векторам причем натяжение будет равно и параллельно вектору натяжение равно и параллельно вектору и т. д, натяжение к вектору Последнее натяжение будет равно и параллельно вектору точки совпадают, так как также равно

Рис. 81.

Следовательно, для равновесия замкнутого веревочного многоугольника необходимо и достаточно: 1) чтобы многоугольник сил, непосредственно приложенных, был замкнут; 2) чтобы существовала такая точка А, для которой каждая из сторон веревочного многоугольника была параллельна и противоположно направлена диагонали

Примечание. Если число сторон веревочного многоугольника неограниченно возрастает, причем каждая из этих сторон стремится к нулю, то как этот многоугольник, так и многоугольник Вариньона обращаются в кривые. Этот предельный случай будет изучен в параграфе 11.

В общем случае фигура равновесия будет пространственным многоугольником. Этот многоугольник будет плоским в случаях, когда силы сходятся или параллельны.