126. Параллельные силы.
Фигура равновесия будет, также плоской, когда все силы, кроме двух крайних, параллельны. В этом случае проекции натяжений на перпендикуляр к общему направлению сил равны.
Первая часть этого предположения докажется так же, как и для сходящихся сил. Для доказательства второй части - замечаем, что так как силы 
находятся в равновесии, то сумма их проекций на направление 
перпендикулярное силам, равна нулю. Но так как проекция силы 
равна нулю, то отсюда следует, что проекция 
равна проекции 
и точно так же равна проекции 
Рис. 83.
Допустим, например, что оба конца многоугольника подвешены к двум неподвижным точкам и что силами, действующими на промежуточные вершины, являются веса. Тогда многоугольник будет находиться в вертикальной плоскости, проходящей через две неподвижные точки. Допустим, кроме того, что имеется горизонтальное звено 
натяжение которого мы обозначим через 
Натяжения следующих звеньев 
будут 
а их углы наклона к горизонту обозначим через 
На точки 
действуют веса 
Для построения в рассматриваемом случае многоугольника сил для части 
веревочного многоугольника (рис. 83) необходимо провести через некоторую точку А в направлении 
вектор 
равный и параллельный натяжению 
, далее — векторы 
равные и параллельные силам 
Точки 
находятся на одной вертикали, а диагонали 
параллельны сторонам 
и равны натяжениям 
Имеем, следовательно:
Если предположить, что число вершин 
неограниченно возрастает, причем каждая сторона стремится к нулю, то многоугольник
превратится в такую кривую, что, обозначая через а угол наклона касательной в точке М к горизонту, через Т — натяжение в этой 
через Р — вес дуги 
отсчитываемой от наинизшей точки 
где натяжение равно 
мы сможем написать
Например, если вообразить однородную тяжелую нить, находящуюся в равновесии, то вес нити от наинизшей точки 
до точки М пропорционален дуге 
длину которой обозначим через 
. Следовательно, для кривой равновесия (цепной линии)
(а — постоянная). Ниже мы дадим уравнение этой кривой в конечной форме (п. 139).
Если тяжелая нить не однородна, но ее линейная плотность 
(как она определена в п. 114) есть известная функция дуги 
отсчитываемой от 
то
где а, как и раньше, — постоянная.
Висячие мосты. Будем предполагать, что подвесные стержни вертикальны, находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагружены. Мы будем пренебрегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно вертикальной плоскости, перпендикулярной к его собственной плоскости, и что он абсолютно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за плоскость чертежа, прямую ее пересечения с плоскостью симметрии за ось у и прямую 
ее пересечения с плоскостью моста, которая предполагается горизонтальной, за ось х. Будем предполагать число стержней четным, т. е. что в середине многоугольника имеется горизонтальное звено 
(рис. 83). Обозначим через а расстояние между стержнями и через 
координаты вершины М. Координаты вершины 
будут 
Координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам
в которых 
равен 
так как веса 
равны одному и тому же весу 
Таким путем найдем:
Это последнее уравнение может быть непосредственно получено, если заметить, что внешние силы, приложенные к части 
образуют систему векторов, эквивалентных нулю, вследствие чего сумма их моментов относительно точки 
равна нулю.
В этих выражениях имеется еще неизвестное натяжение 
Оно может быть определено, если известна точка подвеса последней вершины 
Пусть 
— высота этой точки; тогда
что и определяет 70. Вершины многоугольника находятся на параболе с вертикальной осью. В самом деле, если в равенствах
изменять 
непрерывным образом, то точка 
опишет параболу с вертикальной осью и вершины многоугольника будут точками этой параболы, соответствующими целым, значениям 
Легко, кроме того, показать, что звенья многоугольника касаются в своих серединах другой параболы с вертикальной осью.
Если число стержней будет очень большим, а звенья очень малыми, то многоугольник можно будет отождествить с кривой, которая, согласно вышеизложенному, будет обязательно параболой. В этом можно также убедиться, если заметить, что тангенс угла наклона звена пропорционален абсциссе его середины. Если многоугольник отождествляется с кривой, то угловой коэффициент касательной в какой-нибудь точке этой кривой пропорционален абсциссе этой точки, что является характерным свойством параболы с вертикальной осью.
