VI Неудерживающие связи

184. Связи, определяемые равенствами; допускаемые перемещения, характеризуемые неравенствами.

Может случиться, что система подчинена связям, определяемым равенствами, но что возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются неравенствама. В этом случае говорят, что система подчинена неудерживающим связям.

Представим себе, например, материальную точку, положенную на горизонтальный стол, который она может покинуть, переместившись вверх. Примем за ось направленную вверх вертикаль. Предположив, что связь осуществлена, имеем но возможные перемещения, допускаемые этой связью, будут таковы, что

Представим себе теперь две точки связанные невесомой нерастяжимой нитью длины наибольшее расстояние между этими точками равно I, но это расстояние может быть и меньше, так как нить не препятствует точкам приближаться друг к другу. В предположении, что связь осуществлена, т. е. что нить натянута, имеем

а возможные перемещения, допускаемые этой связью, либо оставляют расстояние равным I, либо уменьшают его:

Так как

то эти перемещения определены неравенством

Вообще можно представить себе систему из точек подчиненную таким связям, что когда они все осуществлены, возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются некоторыми равенствами и некоторыми неравенствами:

Мы имеем таким образом соотношений: равенств и неравенств. Мы будем предполагать, что левые части всех неравенств либо отрицательны, либо равны нулю, чего можно всегда достичь, изменив, в случае необходимости, знаки обеих частей.

Мы ставим себе задачей найти для такого рода систем положения равновесия, при которых все связи осуществлены.

Полезно разбить перемещения, допускаемые связями, на две категории:

1) неосвобождающие перемещения и 2) освобождающие перемещения. Мы будем называть освобождающими перемещениями такие перемещения, для которых левые части соотношений (2) равны нулю, как и для соотношений (1):

Очевидно, что каждому неосвобождающему перемещению соответствует такое же перемещение, ему равное, но противоположное по направлению, так как если левые части равенств (1) и (2) равны нулю для какой-нибудь системы значений они будут также равны нулю, если у всех переменить знаки на обратные.

Наоборот, мы назовем освобождающим перемещением такое перемещение, для которого хотя бы одна из левых частей соотношений (2) не равна нулю, например:

В этом случае перемещение, равное и противоположное, не допускается связями, так как если переменить знаки на обратные, то неравенство не будет выполняться.

Теорема о возможной работе для такого рода связей формулируется так: Для того чтобы в положении, при котором все связи осуществлены, имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы для всех

возможных перемещений, допускаемых связями, сумма работ заданных сил была равна нулю или была отрицательной, причем нулю она должна быть равна для неосвобождающих перемещений, равна нулю или отрицательной для освобождающих перемещений:

Необходимость условия. Для доказательства, что условие необходимо, достаточно показать, что в случае неудерживающих связей для любого перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ реакций связей либо равна нулю, либо положительна: равна нулю для неосвобождающих перемещений, равна нулю или положительна для других перемещений.

В самом деле, возьмем, например, точку, положенную на некоторую поверхность, которую она может покинуть в какую-нибудь сторону. Нормальная реакция поверхности будет, очевидно, направлена в ту сторону, в которую точка может покинуть поверхность. Следовательно, если точке сообщить перемещение, при котором она покидает поверхность (освобождающее перемещение), то работа реакции будет положительна; она будет равна нулю только в том случае, когда реакция также равна нулю. Если точке сообщить перемещение по поверхности (неосвобождающее перемещение), то работа реакции будет равна нулю.

Возьмем теперь две точки, связанные не имеющей массы нерастяжимой нитью. Если нить натянута, то реакциями связи будут натяжения Т на обоих концах, стремящиеся сблизить точки. Если обе точки переместить таким образом, чтобы расстояние не изменилось (неосвобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет равна нулю но если при перемещении точки сближаются (освобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет, очевидно, положительной; она будет равна нулю лишь в частном случае, когда Натяжение также равно нулю.

Резюмируя сказанное для всех перемещений, допускаемых связями получаем

где как и прежде, обозначает сумму работ реакций связей и знак равенства следует брать для неосвобождающих перемещений.

Установив это, допустим, что система находится в равновесии. Каждая точка, как мы это подробно разобрали в п. 165, будет находиться в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как непосредственно заданных, так и реакций связей, и если системе сообщить какое-нибудь возможное перемещение, то получится

где сумма работ заданных сил. Но если перемещение допускается связями, то, как мы видели, и, следовательно,

Таким образом, высказанное условие является необходимым, причем знак равенства соответствует неосвобождающим перемещениям.

Достаточность условия. Для доказательства, так же как и в п. 165, покажем, что если равновесия нет, то существует по крайней мере одно перемещение, допускаемое связями, для которого сумма работ заданных сил отлична от нуля и положительна. В самом деле, если равновесия нет, то система приходит в движение и совершает перемещение, допускаемое связями. В этом действительном перемещении каждая точка перемещается вдоль равнодействующей всех приложенных к ней сил как непосредственно

заданных, так и реакций связей. Работа этой равнодействующей, равная сумме работ составляющих сил, будет, следовательно, положительная, и мы имеем

Но в действительном перемещении сумма реакций связей равна нулю. Это очевидно, если действительное перемещение является неосвобождающим перемещением, так как к нему может быть приложено все, что было сказано о работе реакций связей, в случае, когда последние выражаются равенствами. Но то же самое будет по-прежнему справедливо и в случае, когда действительное перемещение является освобождающим перемещением; это вытекает из того, что если действительное перемещение является освобождающим перемещением для какой-нибудь связи, то соответствующая реакция связи равна нулю и, следовательно, ее работа также равна нулю.

Например, возьмем какую-нибудь точку, лежащую на поверхности, которую она может покинуть в какую-либо сторону. Соответствующая реакция связи будет нормальной реакцией. Если точка приходит в движение под действием приложенных к ней сил, то могут представиться два случая: либо точка переместится по поверхности (неосвобождающее перемещение) и тогда работа реакции будет равна нулю, либо она покинет поверхность (освобождающее перемещение), но тогда реакция будет равна нулю, так как, по предположению, поверхность не удерживает точку и работа реакции будет по-прежнему равна нулю. Теперь возьмем две точки, связанные нитью. Если обе точки под действием приложенных к ним сил приходят в движение, то могут представиться два случая: или нить остается натянутой (равенство) и сумма работ натяжений равна нулю (п. 88), или точки сближаются (неравенство), но тогда нить не будет более натянутой, натяжения будут равны нулю и их работа по-прежнему будет равна нулю.

Резюмируя изложенное, можно сказать, что для действительного перемещения сумма работ реакций связей равна нулю,

и, следовательно, согласно неравенству (3) для действительного перемещения

что и требовалось доказать.

Примечание. Таким образом, доказанное условие является и необходимым и достаточным. Его можно высказать более кратко: для равновесия необходимо и достаточно, чтобы на всех перемещениях, допускаемых связями, было

Отсюда само собой будет вытекать, что для неосвобождающих перемещений

Действительно, если для неосвобождающего перемещения получится то, так как противоположное перемещение будет также допускаться связями, для этого нового перемещения получится , следовательно, условие (4) не будет более выполняться для всех допускаемых связями перемещений.

185. Аналитические выражения.

Пусть на точки наложены связи, выражаемые равенствами и неравенствами такого вида, как (1) и (2). Если обозначить через проекции равнодействующей заданных сил, приложенных к точке то для того, чтобы выразить, что имеет место

равновесие, надо написать, что для всех перемещений, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), выполняется неравенство

Начнем с того, что приравняем нулю сумму в левой части соотношения для всех неосвобождающих перемещений, т. е. для всех перемещений, которые получатся, если приравнять нулю левые части равенств (1) и (2). Таким путем, при помощи методов п. 171 и 177, будут найдены положения равновесия.

После этого останется выбрать среди найденных положений те, при которых для каждого освобождающего перемещения сумма работ заданных сил равна нулю или отрицательна. Таким путем получатся все возможные положения равновесия, при которых все связи осуществлены.

Допустим, например, что использованы множители Лагранжа. Написав, что при всех неосвобождающих перемещениях сумма работ приложенных сил равна нулю, получим, как в п. 178, следующие необходимые условия равновесия:

где

Возьмем теперь какое-нибудь положение равновесия, определяемое этими уравнениями. Чтобы они были применимы, необходимо и достаточно, чтобы множители соответствующие соотношениям (2), быт отрицательны. Действительно, сообщим системе освобождающее перемещение удовлетворяющее соотношениям (1) и (2). Вычисляя сумму при помощи уравнений (6), мы видим, что коэффициенты при равны нулю в силу соотношений (1) и остается

Эта сумма должна быть отрицательная при любых перемещениях, удовлетворяющих соотношениям (2), при которых коэффициенты перед множителями либо отрицательны, либо равны нулю.

186. Пример.

Найдем положение равновесия тяжелой точки прикрепленной к неподвижной точке О при помощи невесомой и нерастяжимой нити длины и лежащей на наружной поверхности неподвижного горизонтального цилиндра вращения.

Рис. 121.

Примем точку О за начало; вертикаль, направленную вниз, — за ось прямое сечение цилиндра — за плоскость ось будет тогда горизонтальна.

Сечение цилиндра плоскостью будет окружностью радиуса которую мы предположим целиком расположенной внутри угла (рис. 121). Обозначим через а и с координаты центра С этой окружности. Обозначим далее через В нанвысшую точку окружности и предположим, что длина нити больше длины но меньше длины касательной к окружности,

проведенной из точки О, так что когда нить натянута, точка будет лежать на цилиндре.

Предполагая, что обе связи осуществлены, получим

Возможные перемещения, допускаемые первой связью, таковы, что они либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние , перемещения же, допускаемые второй связью, либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние от точки до оси цилиндра, так что

или, производя дифференцирование и меняя знаки во втором неравенстве

Так как единственной заданной силой является вес, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы при условии осуществления соотношений (8) выполнялось неравенство

для всех перемещений (9).

Для упрощения вычислений мы применим метод, который, очевидно, может быть распространен на общий случай. Примем в качестве независимых переменных левые части соотношений (9), положив

где — две произвольные бесконечно малые величины. Разрешая эти уравнения относительно имеем

Для того чтобы получить наиболее общее перемещение, допускаемое связями, можно принять, что и произвольны при условиях

являющихся условиями (9), написанными в новых переменных. Для равновесия, согласно соотношению (10), необходимо, чтобы величина или, что то же, величина , была отрицательна или равна нулю для всех этих перемещений.

Возьмем сначала неосвобождающие перемещения Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы для всех этих перемещений величина или равнялась нулю. Но если то для из равенства (12) получаем

и чтобы эта величина была равна нулю при любом необходимо и достаточно, чтобы

Это необходимое условие равновесия распадается на два: Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

Первый случай, Полагая в уравнениях связи получим два соотношения

определяющих два положения равновесия в точках А и А пересечения окружности основания цилиндра с окружностью, лежащей в плоскости и описанной из точки О как из центра радиусом, равным I. Обозначим через х, у, z координаты одного из этих положений. Чтобы узнать, пригодно ли оно, дадим точке в этом положении какое-нибудь освобождающее перемещение, т. е. такое, для которого

Необходимо, чтобы при таком перемещении работа заданной силы была или отрицательна, или равна нулю. Но при из выражения (12) для получим

и это выражение должно быть или отрицательным, или равным нулю, когда или отрицательны, или равны нулю.

Для положения А величины отрицательны, а х положительна; следовательно, имеет отрицательные значения при всех освобождающих перемещениях, и положение А пригодно.

Для положения А величины положительны; не будет отрицательным при всех отрицательных или равных нулю значениях Например, при величина 8г- получается положительной. Положение А не пригодно. Это видно сразу, так как если точку положить на поверхности цилиндра в А, то она упадет.

Второй случай. Положим теперь Тогда из второго из уравнений (8) связей имеем

Это показывает, что искомые положения лежат либо на наивысшей образующей либо на наинизшей образующей цилиндра. Согласно первому соотношению (8) они лежат на пересечении этих образующих со сферою радиуса описанной из точки О как из центра. Эта сфера пересекает верхнюю образующую в двух симметричных относительно плоскости точках Е и Е и не пересекает нижней образующей . Проверим, будет ли одно из этих положений Е и пригодно. Координаты этих положений будут

Для того чтобы положение было пригодно, нужно, чтобы для всех освобождающих перемещений получалось

Но значение (12) Для при условиях (14) для координат рассматриваемых положений будет

При всех освобождающих перемещениях значение отрицательно или равно нулю; следовательно, оба положения Е и Е пригодны.

Можно к этой задаче применить, в качестве упражнения, метод множителей Лагранжа. Тогда положения равновесия определятся соотношениями

где должны быть отрицательными или равными нулю.

Примечание. В соответствии с общим методом мы нашли положения равновесия в предположении, что связи осуществлены, т. е. что уравнения связей (8) удовлетворяются.