ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ

282. Уравнения Лагранжа.

В предыдущих главах мы вывели для точки, движущейся по неподвижной или движущейся поверхности или по кривой, уравнения движения, указанные Лагранжем. Тот же метод позволяет написать уравнения движения свободной точки, причем в любой системе координат. Этот метод тем более важен, что он применим к движению произвольной голономной системы.

Допустим, что декартовы координаты х, у, z движущейся точки относительно трех прямоугольных осей координат выражены через новые координаты формулами

Требуется написать уравнения движения в новой системе координат, т. е. написать дифференциальные уравнения, определяющие в функции времени. Для этого можно было бы взять те же уравнения движения, которые определяют х, у, z в функции и преобразовать их к новым переменным, определяемым вышенаписанными формулами. Но такое вычисление было бы слишком длинным, а метод Лагранжа имеет целью именно избежать длинные вычисления. Этот метод применим также и в том случае, когда декартовы координаты являются заданными функциями не только трех новых координат но и времени. С точки зрения геометрической это означает, что указанный метод применим также и в случае, когда новая система координат подвижна, причем движение ее известно.

Поэтому, чтобы исследовать наиболее общий случай, мы предположим, что являются заданными функциями параметров и времени

Чтобы найти уравнения движения в новой системе координат, т. е. дифференциальные уравнения, определяющие в функции времени, напишем уравнения движения в декартовых координатах

Умножим, соответственно, эти уравнения на почленно сложим их. Получим

где положено

Так как X, Y, Z являются заданными функциями координат х, у, z и их производных по то легко вычислить в функции и их производных по Далее для вычисления левой части заметим, что предыдущее уравнение может быть написано в виде

Для упрощения записи Лагранж обозначает:

Тогда, взяв производные от обеих частей уравнения

получим

Отсюда, так же как и в п. 263, выводим формулы

Точно так же получаются тождества

Поэтому, уравнение (2) можно написать так

Положим теперь

Следовательно, Т обозначает кинетическую энергию точки. Если заменить х, у, z их значениями (3), то Т станет функцией переменных При таком обозначении непосредственно видно, что уравнение (2) можно переписать в виде

Путем таких же вычислений получим:

Выражение содержит и их первые производные; отсюда следует, что полученные нами уравнения Лагранжа будут второго порядка. Следовательно, их общие интегралы содержат шесть произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий. Если известно выражение в системе координат то можно сразу найти Т, так как

Вычисление правых частей. В равенствах, выражающих можно заменить X, Y, Z их значениями, но часто можно вычисление упростить. Допустим сначала, что имеется силовая функция . В этом случае

и поэтому

Если теперь предположить, что в выражении силовой функции координаты заменены их значениями в функции то предыдущее уравнение запишется следующим образом:

Точно так же будет

Эти формулы пригодны и тогда, когда X, Y, Z являются частными производными по функции содержащей явно время, хотя в этом случае нельзя больше говорить, что сила имеет силовую функцию.

В наиболее общем случае можно также упростить вычисление величин Дадим в уравнениях преобразования координат

времени определенное значение и допустим, что получают произвольные возможные приращения Тогда приращения координат х, у, z будут:

Элементарная работа силы на соответствующем возможном перемещении равна

или в силу предыдущих равенств

И если предположить, что возможное перемещение совершается по кривой то элементарная работа будет равна что и позволяет определить Точно так же получаются

Мы видим, таким образом, что имеется полная аналогия с уравнениями, найденными для движения по кривой и по поверхности. Единственное различие заключается в числе параметров которое для точки на кривой равно 1, для точки на поверхности равно 2 и для свободной точки равно 3.