II. Теорема Якоби

297. Теорема Якоби.

В канонических уравнениях (6) Н является функцией второй степени относительно Теорема Якоби справедлива для любых уравнений вида (6), в которых Н является произвольной заданной функцией от . Мы будем писать ее в виде чтобы сделать явными входящие переменные. Основа теоремы Якоби заключается в том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик дифференциального уравнения с частными производными первого порядка

определяющего V в функции , рассматриваемых как независимые переменные. Левая часть этого уравнения получается, если к члену добавляется функция, в которую обращается Н, когда в нем заменяют производными

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Якоби, подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом.

Выясним сначала, какую форму должен иметь общий интеграл канонических уравнений. Уравнения (6) образуют систему шести уравнений первого порядка, определяющих в функции Их общий интеграл представляется уравнениями вида

с шестью произвольными постоянными .

Уравнение с частными производными первого порядка определяет некоторую функцию V переменных рассматриваемых как независимые. Известно, что по Лагранжу полным интегралом уравнения с частными производными первого порядка называется решение этого уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, сколько в нем содержится независимых переменных. В рассматриваемом случае полный интеграл должен содержать четыре произвольных постоянных. Но уравнение содержит только производные от V. Поэтому, если оно обладает каким-нибудь решением V, то оно будет иметь и другое решение Следовательно, для того, чтобы иметь полный интеграл, достаточно найти решение

с тремя произвольными постоянными из которых ни одна не является аддитивной; тогда функция будет полным интегралом. Эта последняя постоянная, которую можно всегда добавить, не играет никакой роли в теореме Якоби. Последняя формулируется следующим образом: если для уравнения найден полный интеграл вида то конечные уравнения движения,

дающие общий интеграл системы канонических уравнений, будут

где — произвольные постоянные.

Три уравнения разрешенные относительно определяют эти величины как функции времени и шести постоянных Если эти значения подставить в уравнения то последние определяют в функции времени и тех же постоянных. Необходимо показать, что полученные таким образом выражения являются общим интегралом канонических уравнений

Уравнения образуют систему трех совместных уравнений относительно определяющих в функции Будем искать производные от по теореме о неявных функциях, для чего продифференцируем уравнения рассматривая в них как функции Таким путем получим:

Из этих трех уравнений первой степени можно найти и нужно убедиться в том, что значения этих производных удовлетворяют уравнениям (6), т. е., что они равны соответственно производным так как в общем случае система уравнений первого порядка имеет только одно решение, то достаточно убедиться, что уравнения (7) удовлетворяются, если в них вместо подставить . Достаточно, например, проверить, выполняется ли тождество

после того как в нем величины будут заменены их значениями в функции и шести произвольных постоянных, полученными из уравнений и Но мы сейчас докажем, что это уравнение является тождеством относительно если в нем заменить их значениями . В самом деле,

если в уравнение подставить вместо полный интеграл то полученное от этой подстановки равенство будет тождественно равно нулю, каковы бы ни были Частные производные этого равенства относительно каждой из величин будут также тождественно равны нулю. Напишем, что частная производная по уравнения равна тождественно нулю:

так как левая часть равенства зависит от через член и величины входящие в Н. Это тождество в точности выражает то, что мы хотим доказать, а именно, что выражение (8) является тождеством, когда в нем заменены значениями Точно так же убеждаемся, что подстановка значений вместо в два других уравнения (7) обращают их в тождества.

Мы доказали, что значения определяемые уравнениями удовлетворяют уравнениям остается убедиться в том, что значения определяемые уравнениями удовлетворяют уравнениям

Проверим это для Так как зависит от непосредственно и через то из уравнений получим

Требуется показать, что полученное выражение для совпадает с выражением в силу равенств и Но мы только что доказали, что совпадают тождественно с подставляя эти значения в вышенаписанное выражение для приравнивая результат величине , мы получим уравнение

которое должно быть тождеством в силу равенств Покажем, как мы это делали выше, что оно тождественно удовлетворяется при замене значениями Действительно, если подставить в левую часть уравнения Якоби полный интеграл V, то результат такой подстановки будет тождественно равен нулю при любых значениях Следовательно, производная этой левой части по будет также тождественно равна нулю. Написав это, получим уравнение

выражающее, что равенство (9) обращается в тождество, если в нем вместо подставить

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа: интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения — эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой.

Примечание. Мы допустили, что система уравнений первой степени (7) относительно имеет только одно решение, т. е. что определитель

не равен нулю. Но этот определитель является функциональным определителем производных рассматриваемых как функции от Если этот определитель равен нулю, то будут связаны соотношением вида

с коэффициентами, не зависящими от , т. е. являющимися функциями от Но тогда функция У не будет больше полным интегралом уравнения Якоби, так как она удовлетворяет не только уравнению Якоби, но еще и уравнению (10), которое не содержит и поэтому отличается от уравнения Якоби. Но, как известно, существенным свойством полного интеграла является то, что по исключении содержащихся в нем

постоянных мы придем к заданному уравнению с частными производными, но не к какому-либо другому. Поэтому определитель не может равняться нулю (см. Гурса, Equations aux derivees partielles, стр. 97).

Из того, что не равно нулю, можно заключить также, что шесть постоянных, входящих в интегралы канонических уравнений, действительно различны, т. е. что можно определить таким образом, чтобы при величины приняли произвольные значения, после чего можно определить так, чтобы при величины тоже приняли любые наперед заданные значения.