II. Случай неподвижной поверхности

265. Применение теоремы кинетической энергии.

Указанный нами общий метод применим всегда. Но если поверхность неподвижна, то возможны упрощения, которые следует указать. В этом случае уравнение поверхности имеет вид

и действительное перемещение, которое совершает точка, будет перпендикулярно к нормальной реакции Если применить теорему

кинетической энергии, то работа этой нормальной реакции будет равна нулю, и мы получим уравнение

не зависящее от реакции. Этим уравнением можно всегда заменить одно из уравнений Лагранжа. Мы убедимся сейчас, что оно действительно представляет следствие уравнений Лагранжа.

Если поверхность движется, то нормальная реакция не исключится при применении теоремы кинетической энергии, так как действительное перемещение точки не будет перпендикулярным к нормальной реакции. В самом деле, в момент поверхность будет в положении S и точка в положении М на поверхности к моменту поверхность будет в S и точка в М на поверхности перемещение не будет перпендикулярно к реакции

Вернемся к случаю неподвижной поверхности. Из уравнения кинетической энергии сразу получаем первый интеграл, если существует силовая функция

Может еще случиться, что не является полным дифференциалом, но становится таковым в силу соотношения Если, например, точка поверхности определяется двумя параметрами то

и выражение если заменить в нем их значениями в функции обращается в Если выражение является полным дифференциалом функции то интеграл кинетической энергии будет иметь вид

или

ибо Т как раз и есть кинетическая энергия.

Этим последним уравнением можно заменить наиболее сложное из уравнений Лагранжа, и таким путем получатся два уравнения для определения в функции

Пример. Рассмотреть движение точка на поверхности геликоида с направляющей плоскостью, когда точка притягивается или отталкивается осью геликоида с силой, пропорциональной расстоянию (рис. 165).

Пусть — полярные координаты точки М геликоида, лежащей на образующей Декартовы координаты этой точки будут:

Сила, действующая на точку, равна и направлена по Известно, что в этом случае имеется силовая функция

Определяя точку поверхности параметрами , которые заменяют имеем

Уравнения движения Лагранжа будут поэтому следующие:

Рис. 165.

Второе из этих уравнений показывает, что

Вместо первого уравнения воспользуемся интегралом кинетической энергии

Исключив из двух последних уравнений, получим уравнение движения по радиусу-вектору:

или

Таким образом, выражается через при помощи квадратуры. Точно так же найдем, что 0 выражается через при помощи второй квадратуры. Для этого достаточно в последнем уравнении заменить его значением

При исследовании формы кривой необходимо различать два случая в зависимости от того, положительно или отрицательно (отталкивание или притяжение). Если положительно, то кривая может иметь бесконечные ветви, что видно из того, что при неограниченном возрастании величина не перестает бцть положительной. Наоборот, если отрицательно, то может возрастать только в некоторых пределах. В частном случае, когда точка перемещается по поверхности без непосредственно приложенной силы (по инерции). Тогда выразится через эллиптическим интегралом. В этом частном случае точка, как мы увидим дальше (л. 270), будет описывать геодезическую линию геликоида: