VI. Полярные векторы. Аксиальные векторы. Скалярные величины

34. Характер симметрии вектора.

Величины, изображаемые векторами, могут представлять собою два вида симметрии. С этой точки зрения они подразделяются на векторы полярные и векторы аксиальные.

Полярные векторы. Вектор называется полярным, если представляемая им физическая величина симметрична относительно всех плоскостей, проходящих через но не симметрична относительно плоскости, перпендикулярной к Так, например, скорость и ускорение представляются полярными векторами. Можно сказать, что симметрия полярного вектора АВ будет такого же

вида, как и симметрия параболоида вращения вокруг оси Выбор направления осей и положительного направления вращения не содержится в определении полярного вектора.

Аксиальные векторы. Вектор является аксиальным, если представляемая им физическая величина симметрична не только относительно плоскостей, проходящих через но и относительно плоскостей, перпендикулярных к так что характер симметрии представляемой физической величины будет таким же, как у цилиндра вращения вокруг

Определение аксиального вектора зависит обычно от соглашения относительно положительного направления вращения или направлений, приписываемых некоторым циркуляциям. Например, векторный момент некоторого полярного скользящего вектора относительно какой-нибудь точки В есть аксиальный вектор. Действительно, физическая величина, которую должен представлять вектор характеризуется: 1) плоскостью, проходящей через точку В и через ось вектора площадью треугольника Но оба эти элемента симметричны относительно плоскости Направление, приписываемое вектору относительно этой плоскости, зависит от соглашения о выборе положительного направления вращения. Этот вектор является, следовательно, аксиальным. Представление момента при помощи вектора обладает, таким образом, некоторым несовершенством, так как оно вводит, вследствие произвольности выбора положительного направления вращения, диссимметрию, которой не имеет представляемый объект. Можно избежать этой диссимметрии, условившись, например, изображать момент полярного вектора относительно точки В при помощи некоторого круга, описанного в плоскости с центром в точке В, причем радиус этого круга равен величине момента и на контуре круга при помощи стрелки указано направление, в котором точка, перемещаясь вдоль вращается вокруг центра В.

Это представление поясняет симметрию момента, но оно менее удобно, чем обычное представление момента, с других точек зрения. Векторный момент пары полярных векторов есть также вектор аксиальный.

Легко показать, что векторный момент некоторого векторного момента относительно точки В есть вектор полярный. Для этого достаточно установить, что вектор не зависит от какого бы то ни было выбора положительного направления вращения.

Эти положения имеют важное значение для физики. По поводу связанных с ними вопросов можно указать на мемуар Клейна, переведенный на французский язык Г. Падэ .

Скалярные величины первого и второго рода. Скаляром называют, обобщая уже встречавшееся заимствованное из теории кватернионов выражение, всякую величину, определяемую одним

единственным числом, как, например, плотность, температуру. Но при этом могут представиться два случая:

а) Рассматриваемое число не зависит от направления осей координат. Мы будем говорить, что оно является скаляром первого рода.

б) Число, определяющее рассматриваемую величину, меняет знак при перемене направления осей. Такое число называется скаляром второго рода.