308. Эллиптические координаты в пространстве.

Мы нашли (п. 286)

Тогда

Допустим, что силовая функция имеет вид

где функция одной только переменной функция одной только переменной только переменной Имеем

Если мы подставим вместо их значения (п. 286), то уравнение для будет следующее:

Для нахождения полного интеграла этого уравнения при сделанных относительно предположениях заметим, следуя Якоби, что при любых Значениях постоянных выполняется тождество

в чем можно убедиться, написав, что сумма вычетов рациональной относительно функции

равна Тогда уравнение для при замене этим выражением может быть написано следующим образом:

Это уравнение имеет, очевидно, интеграл

где положено

Действительно, это выражение для обращает в нуль каждый из трех членов уравнения с частными производными. Для нахождения траекторий приравняем теперь постоянным а и частные производные от по а и

В частном случае, когда нет сил, т. е.

эти уравнения должны представлять прямую линию в пространственных эллиптических координатах. Они эквивалентны двум алгебраическим соотношениям между что составляет первое обобщение результата Эйлера, указанное в конце предыдущего упражнения, и частный случай теоремы Абеля, приложенной к ультраэллиптическим интегралам первого рода. Что касается времени, то мы получим его, приравнивая частной производной

В виде упражнения будет показано, что силовая функция принимает вышеуказанную форму, когда на движущуюся точку одновременно действуют притяжение к центру, пропорциональное расстоянию, и притяжения, нормальные к трем главным плоскостям софокусных поверхностей и изменяющиеся в отношении, обратном кубу расстояний.