считаемая положительной в направлении от точки А к центру кривизны О нормального сечения, проведенного через 
и 
— радиус кривизны 
этого сечения (рис. 97). Если С — центр кривизны нити в той же точке А и 
радиус кривизны нити, то по теореме Млнье 
где 
угол 
Обозначим, наконец, через 
проекцию направления 
на касательную плоскость к поверхности в точке А. Элемент 
нити находится под действием заданной силы 
и нормальной реакции 
считаемой положительной в направлении 
Рис. 97.
Равнодействующая 
двух сил 
и 
на основании естественных уравнений равновесия свободной нити, равна равнодействующей сил 
направленных соответственно по 
и 
. Следовательно, сумма проекций сил 
и 
на какую-нибудь ось равна сумме проекции сил 
и 
на ту же ось. Спроектируем силы 
и 
последовательно на оси 
Тогда, обозначая через 
проекции на эти оси силы 
получим
Из последнего уравнения получим реакцию 
Первые два уравнения являются естественными уравнениями равновесия нити на поверхности. В этих уравнениях величина является радиусом геодезической кривизны нити.
Например, для сферической цепной линии 
обозначает проекцию веса 
на радиус сферы; следовательно, 
равно 
Так как 
равно радиусу а сферы и Т равно 
то нормальная реакция для сферической цепной линии равна 
. Если нить находится между двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями, то она давит на внутреннюю сферу в точках, где это значение 
положительно, и на внешнюю сферу — в точках, где оно отрицательно. Точки, где 
являются в горизонтальной проекции точками перегиба.
Вернемся к общему случаю. Допустим, что нить находится в равновесии и будем деформировать поверхность таким образом, чтобы длины начерченных на ней линий не изменялись. Тогда геодезическая кривизна этих линий остается неизменной. В то же время сохраним для натяжения нити те же значения и изменим 
таким образом, чтобы 
не изменились. Тогда два естественных уравнения равновесия будут по-прежнему удовлетворяться, и нить останется в равновесии. Изменится только реакция 
Вследствие этого нахождение фигуры равновесия нити на развертывающейся поверхности может быть сведено к случаю, когда эта поверхность — плоскость. Например, фигура равновесия тяжелой однородной цепочки на
поверхности вертикального цилиндра является кривой, которая при развертывании цилиндра на вертикальную плоскость обращается в цепную линию. Фигурой равновесия тяжелой однородной цепочки на круговом конусе с вертикальной осью является кривая, которая при развертывании конуса обращается в фигуру равновесия нити, каждый элемент которой притягивается или отталкивается неподвижной точкой (вершиной конуса) с постоянной по величине силой. Дифференциальное уравнение этой кривой было нами найдено (п. 141).
— кривая равновесия, 
— касательная к ней в точке А в направлении положительных дуг, 
— нормаль в точке А к поверхности,
