145. Естественные уравнения равновесия нити на поверхности.

Пусть — кривая равновесия, — касательная к ней в точке А в направлении положительных дуг, — нормаль в точке А к поверхности,

считаемая положительной в направлении от точки А к центру кривизны О нормального сечения, проведенного через и — радиус кривизны этого сечения (рис. 97). Если С — центр кривизны нити в той же точке А и радиус кривизны нити, то по теореме Млнье где угол Обозначим, наконец, через проекцию направления на касательную плоскость к поверхности в точке А. Элемент нити находится под действием заданной силы и нормальной реакции считаемой положительной в направлении

Рис. 97.

Равнодействующая двух сил и на основании естественных уравнений равновесия свободной нити, равна равнодействующей сил направленных соответственно по и . Следовательно, сумма проекций сил и на какую-нибудь ось равна сумме проекции сил и на ту же ось. Спроектируем силы и последовательно на оси Тогда, обозначая через проекции на эти оси силы получим

Из последнего уравнения получим реакцию

Первые два уравнения являются естественными уравнениями равновесия нити на поверхности. В этих уравнениях величина является радиусом геодезической кривизны нити.

Например, для сферической цепной линии обозначает проекцию веса на радиус сферы; следовательно, равно Так как равно радиусу а сферы и Т равно то нормальная реакция для сферической цепной линии равна . Если нить находится между двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями, то она давит на внутреннюю сферу в точках, где это значение положительно, и на внешнюю сферу — в точках, где оно отрицательно. Точки, где являются в горизонтальной проекции точками перегиба.

Вернемся к общему случаю. Допустим, что нить находится в равновесии и будем деформировать поверхность таким образом, чтобы длины начерченных на ней линий не изменялись. Тогда геодезическая кривизна этих линий остается неизменной. В то же время сохраним для натяжения нити те же значения и изменим таким образом, чтобы не изменились. Тогда два естественных уравнения равновесия будут по-прежнему удовлетворяться, и нить останется в равновесии. Изменится только реакция

Вследствие этого нахождение фигуры равновесия нити на развертывающейся поверхности может быть сведено к случаю, когда эта поверхность — плоскость. Например, фигура равновесия тяжелой однородной цепочки на

поверхности вертикального цилиндра является кривой, которая при развертывании цилиндра на вертикальную плоскость обращается в цепную линию. Фигурой равновесия тяжелой однородной цепочки на круговом конусе с вертикальной осью является кривая, которая при развертывании конуса обращается в фигуру равновесия нити, каждый элемент которой притягивается или отталкивается неподвижной точкой (вершиной конуса) с постоянной по величине силой. Дифференциальное уравнение этой кривой было нами найдено (п. 141).