ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
Излагаемые в этой главе геометрические теории введены главным образам Пуансо, Шалем и Мёбиусом. Они находят приложение во многих важных вопросах геометрии, кинематики, механики и физики. Так, например, векторами изображаются скорости, ускорения, вращения, силы, вихри в гидродинамике и т. д.
I. Определения
1. Геометрические величины, или векторы.
Геометрической величиной, или вектором, называется отрезок прямой 
(рис. 1), имеющий начало в точке 
и конец в точке 
Если отрезок 
неограниченно продолжить в обе стороны, то получится бесконечная прямая 
которая называется линией действия вектора, или его основанием. Вектор обычно определяется следующими элементами: 1) своим началом или точкой приложения 
своей линией действия, совпадающей с неограниченной прямой 3) своим направлением, обозначаемым стрелкой на конце и совпадающим с направлением, в котором движется точка, перемещающаяся из начала 
к концу 4) своим модулем 
являющимся длиной отрезка 
Рис. 1.
Аналитически вектор определяется координатами 
начала и 
его конца относительно трех осей координат, или координатами 
его начала и проекциями 
отрезка на эти оси. При этом знаки проекций определяются обычными правилами аналитической геометрии. Эти проекции, очевидно, равны
Мы будем обозначать вектор одной буквой 
представляющей его длину или модуль и помещенной на его конце. В тех случаях, когда можно опасаться смешения с буквами, изображающими числа, мы будем
обозначать вектор 
или 
также через 
или через 
или 
.
Два вектора называются геометрически равными, если они параллельны, имеют одинаковые модули и одинаково направлены. Два вектора называются равными и противоположными, если они равны, параллельны и направлены в противоположные стороны.
2. Различные категории векторов.
Все векторы, в зависимости от того, какие физические или механические величины они представляют, могут быть разделены на три следующие категории:
1°. Прежде всего может случиться, что два геометрически равных вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величину. Как мы увидим дальше, это будет, например, справедливо для так называемых векторов моментов пары. Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называются свободными.
2°. Может, однако, случиться, что два геометрически равных вектора 
(рис. 2) изображают одну и ту же физическую величину лишь при условии, что они имеют общую линию действия, но они изображают различные физические величины, если имеют различные линии действия.
Это, например, имеет место для векторов, изображающих силы, действующие на твердое тело. Такие неотделимые от линии действия векторы называются скользящими.
3°. Может, наконец, случиться, что изображаемая физическая величина такова, что два различных вектора изображают две различные физические величины, т. е. что вектор не может быть отделен от своей точки приложения. Такого рода векторы называются связанными. Связанным будет, например, вектор, изображающий скорость движущейся точки в какой-нибудь момент времени. Действительно, этот вектор не может быть отделен от движущейся точки.
Рис. 2.
Мы рассмотрим последовательно указанные выше три категории векторов и будем характеризовать их некоторыми числами, которые в известном смысле являются их координатами.
