237. Определение времени в эллиптическом движении.

Вернемся опять к задаче двух тел и вспомним, что планета Р массы движется относительно осей, имеющих неизменные направления и проведенных через центр S Солнца так, как если бы Солнце было неподвижным, но имело массу, равную своей истинной массе М, увеличенной на т. Планета движется тогда вокруг Солнца как материальная точка массы находящаяся под действием центральной силы

где

Орбитой является эллшк с фокусом в точке плоскость которого мы примем за плоскость Обозначая через параметр этого эллипса, через а — его большую полуось и через — его эксцентриситет, мы получим, как это было показано в следующие выражения для постоянной площадей С и постоянной кинетической энергии

Рис. 150.

Вершина А (рис. 150), ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а вершина А — афелием. Обозначим через угол, образованный радиусом-вектором перигелия и осью , а через — угол между радиусом-вектором планеты и прямой этот угол называется истинной аномалией. Полярный угол связан с аномалией очевидным соотношением , где — постоянная.

Вычислим теперь время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки траектории. Мы нашли

а, с другой стороны, для скорости после исключения при помощи теоремы площадей получается выражение

Следовательно,

Разрешая уравнение относительно и заменяя его значением получаем:

что может быть написано так:

Отсюда

Обозначим через момент прохождения планеты через перигелий.

Тогда после момента будет сначала увеличиваться, будет положительным и в вышенаписанном равенстве нужно будет взять знак Этот знак нужно сохранять, пока возрастает от своего минимального значения до своего максимального значения Положим

что возможно, так как все время меньше, чем переменная и за полный период обращения изменяется от 0 до . Тогда получим уравнение

которое непосредственно интегрируется, и так как при величина и обращается в нуль, то

Таким образом, выражено в функции , а связано с соотношением

Если надо вычислить положение движущейся точки в момент то первое из этих уравнений определит , а второе позволит вычислить

Введенный нами угол и называется эксцентрической аномалией. Обычно пишут левую часть уравнения, связывающего , в виде полагая

Тогда есть то, что называют средней аномалией. Так как для было найдено значение

то — где Т — период обращения, и уравнение для и принимает вид

оно показывает, что действительно должно быть так как правая часть увеличивается на одновременно с , т. е. после каждого оборота. Коэффициент называется средним движением. Полученное нами уравнение носит название уравнения Кеплера.

Мы выразили в функции остается теперь выразить в функции и истинную аномалию Для этого будем исходить из уравнения эллипса в полярных координатах:

В этом уравнении числитель равен параметру Приравнивая это значение найденному выше значению получим уравнение

откуда находим:

и, извлекая квадратные корни, получаем

Эти формулы, удобные для вычислений при помощи логарифмов, позволяют определить и в функции . Делением получаем из них соотношение

связывающее истинную и эксцентрическую аномалии.