281. Бесконечно малые колебания.
Вводя нормальную реакцию 
имеем следующие уравнения движения маятника:
Если колебания достаточно малы, то 
будут оставаться очень малыми. Мы будем рассматривать их как бесконечно малые первого порядка
и будем пренебрегать членами второго порядка. Ограничиваясь такой степенью приближения, получим 
так как по формуле Тэйлора имеем
и второй член разложения есть член второго порядка. Таким образом, приближение, о котором мы говорим, сводится к допущению, что движущаяся точка не покидает касательной плоскости. Последнее из уравнений (1) упрощается:
Подставляя это значение в два первых, получим уравнения
совпадающие с уравнениями движения точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию. Траектория будет эллипсом с центром на оси 
Это видно из того, что полученные линейные уравнения имеют общие интегралы
Допустим, что при 
что равносильно проведению плоскости 
через одну из вершин малого эллипса. Тогда получатся следующие значения постоянных:
откуда
Исключая 
получим непосредственно уравнение эллипса 
Период обращения равен 
Можно улучшить приближение, сохранив члены второго порядка. Для этого достаточно во вторых частях уравнений (1) заменить 
его значением, полученным из первого приближения. Это вычисление выполнено Тиссераном (Bulletin des sciences mathematiques, 1881).
Другие методы приближения даны Резалем (Mecanique generale, т. 1, стр. 180) и де-Спарром (Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, 1892).
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
