21. Геометрическое истолкование инварианта LX+MY+NZ.
Обозначим через X, 
проекции и моменты двух векторов 
, эквивалентных заданной системе. Имеем:
Принимая во внимание установленное ранее (п. 12) выражение для взаимного момента двух векторов, получим:
что позволяет дать замечательное геометрическое истолкование инварианта
Пусть 
— первоначальные векторы предложенной системы.
Имеем соотношения
В силу соотношений (1) и тождества (2) находим также
где сумма в правой части распространена на все парные сочетания индексов 
и к. Но выражение под знаком 
есть взаимный момент векторов 
, следовательно,
где во второй части число членов равно 
Полученные формулы показывают, что, каким бы способом ни были приведены векторы 
к двум векторам 
и Ф, объем тетраэдра 
будет постоянным и равным алгебраической сумме объемов тетраэдров, полученных путем парных сочетаний векторов 
(Шаль). Для того чтобы два вектора 
и Ф находились в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы объем тетраэдра Шаля равнялся нулю.
