V. Общие теоремы, выводимые из принципа возможных скоростей

180. Связи допускают поступательное перемещение системы параллельно оси.

Допустим, что связи допускают поступательное перемещение всей системы параллельно оси, которую мы примем за ось . В основном уравнении статики

приложенном к этой системе, для рассматриваемого частного перемещения нужно положить

Вынося в нем за скобку общий множитель получим

Для равновесия системы необходимо, следовательно, чтобы сумма проекций на рассматриваемую ось непосредственно приложенных сил равнялась нулю.

181. Связи допускают вращение системы вокруг оси.

Допустим, что связи допускают вращение всей системы как целого вокруг оси, которую мы примем за ось Обозначая через полярные координаты проекции точки на плоскость имеем

Для того чтобы выразить, что система получает рассматриваемое перемещение, нужно, оставляя постоянными, изменить все полярные углы на одну и ту же величину . Таким путем для получаются значения

Сумма возможных работ непосредственно приложенных сил для этого частного перемещения равна

т. е. она равна произведению на сумму моментов непосредственно приложенных сил относительно рассматриваемой оси. Для равновесия необходимо, чтобы эта сумма равнялась нулю.

Мы видим, что понятие момента относительно оси вводится, таким образом, наиболее естественно.

182. Связи допускают винтовое перемещение всей системы.

Примем за ось ось винтового движения. Пусть — бесконечно малый угол, на который система поворачивается вокруг оси а - величина скольжения вдоль этой оси. Положим будет тем, что мы назвали параметром винтового движения. Так

(см. скан)

как бесконечно малое перемещение каждой точки системы есть геометрическая сумма перемещения вращения и перемещения скольжения, то сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна сумме работ на каждом из указанных перемещений в отдельности. Для этой суммы имеем

где — сумма моментов относительно оси — сумма проекций на эту ось. Для равновесия необходимо, следовательно, чтобы

Примечание. Выражение представляет собой относительный момент двух систем векторов, из которых одна образована непосредственно приложенными силами, а другая имеет центральной осью ось винтового движения, главным вектором и минимальным моментом (п. 28).

183. Приложение к условиям равновесия твердого тела.

В таблице на стр. 240 мы обозначаем через проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно начала О сил, непосредственно приложенных к твердому телу.

Мы указываем, кроме того, число степеней свободы твердого тела, подчиненного различным рассматриваемым связям. Для свободного тела это число равно шести, так как положение свободного твердого тела зависит от трех координат какой-нибудь точки О тела и трех независимых углов (например, углов Эйлера), которые определяют положение прямоугольного триэдра , связанного с телом, относительно неподвижного триэдра