271. Применение уравнений Лагранжа.

Обычно для нахождения геодезических линий предпочтительнее поступать следующим образом, используя уравнения Лагранжа. Пусть

— выражения координат точки поверхности в функции двух параметров. Тогда квадрат линейного элемента произвольной кривой, проведенной на поверхности, выразится так

Если для упрощения мы положим массу точки равной 1, то получим

и уравнения движения будут

Одно из этих уравнений, более сложное, будет в дальнейшем заменяться интегралом кинетической энергии или

Мы имеем таким образом два уравнения (из которых одно второго порядка, а другое первого), определяющие в функции

Пример. Поверхность такова, что при подходящем выборе криволинейных координат, определяющих ее различные точки, можно выражение линейного элемента привести к виду

Требуется найти конечное уравнение геодезических линий. Во что преобразуются эти линии, если сделать карту, на которой каждой точке поверхности с координатами будет соответствовать точка плоскости с прямоугольными координатами, имеющими те же самые значения) (лиценциатская, Париж, 1887).

Обозначая через и и производные и и полагая массу точки равной 1, получим

и так как нет непосредственно приложенных сил, то уравнения Лагранжа будут

Мы знаем заранее первый интеграл этих уравнений, а именно интеграл кинетической энергии или

Второе из уравнений (1) дает другой первый интеграл

Исключая из этих двух уравнений и полагая получим дифференциальное уравнение геодезических линий

Отсюда, интегрируя и обозначая через другую постоянную интегрирования, получим

Это и есть уравнение искомых геодезических линий в конечной форме. Если рассматривать как прямоугольные координаты точки плоскости, то кривые будут параболами, имеющими директрису на оси Поверхность, для которой мы нашли геодезические линии, развертывается на поверхность вращения. (См. Дарбу, Thfeorie gfenerale des surfaces, часть 3, гл. II.)