139. Цепная линия.
Приложим эти вычисления к нахождешш фигуры равновесия однородной тяжелой цепочки. Галилей считал, что этой фигурой является парабола. Ошибку Галилея исправил Гюйгенс.
Пусть 
вес единицы длины цепочки. На элемент 
действует сила 
направленная по вертикали. Следовательно, фигурой равновесия является плоская кривая, расположенная в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса. Примем эту плоскость за плоскость 
и направим ось у вертикально вверх. Тогда
и уравнения равновесия будут:
Можно всегда предполагать, что А — число положительное. Действительно, Т — существенно положительно; следовательно, если на кривой выбрать такое направление обхода, чтобы х и 
возрастали одновременно, 
то производная будет положительной и постоянная А будет, вследствие этого, тоже положительной. Мы можем обозначить ее через 
, где а — положительная величина. Заменим 
его значением
Рис. 91.
Тогда уравнение примет вид
Интегрируя, найдем
Отсюда следует, что
Складывая эти два уравнения, получим 
, снова интегрируя, найдем уравнение кривой
Перенесем начало в точку 
(рис. 91); тогда новое уравнение кривой будет
Это — уравнение цепной линии, которая симметрична относительно оси 
ось 
называется ее основанием.
Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим
а из формулы (1) получим для натяжения
Отсюда мы видим, что натяжение нити в точке М равно весу части нити, длина которой равна ординате 
этой точки над базой. Следовательно, если в точке М поместить бесконечно малый блок и дать возможность части нити, расположенной выше точки М, свободно свешиваться, то равновесие не нарушится, если свешивающаяся часть будет равна 
