III. Движение на поверхности вращения

273. Геодезические линии поверхностей вращения.

Мы ставили целью составить два уравнения, не содержащих нормальной реакции, и получили в качестве таковых уравнение кинетической энергии и одно из уравнений Лагранжа. В случае движения точки на поверхности вращения мы всегда будем иметь два не зависящих от реакции уравнения, применив теорему кинетической энергии и теорему момента количества движения относительно оси вращения, так как нормальная реакция лежит в одной плоскости с осью вращения и ее момент относительно этой оси равен нулю. Приложим, в частности, этот метод к определению геодезических линий поверхностей вращения.

Примем ось вращения за ось . Если уравнение меридиана в плоскости есть то уравнение поверхности будет, очевидно, где есть расстояние от точки до оси. Обозначим через полярные координаты проекции Р движущейся точки на плоскость Для координат точки поверхности получим следующие выражения в функции двух параметров

Выражение квадрата линейного элемента будет

где . Так как мы ищем геодезические линии, то займемся исследованием движения точки, скользящей по поверхности без воздействия какой бы то ни было заданной силы. На эту точку будет действовать только реакция. Тогда по теореме кинетической энергии имеем

Далее теорема момента количества движения показывает, что для проекции движения на плоскость справедлив закон площадей (п. 203), т. е.

Из этих двух уравнений получаются два первых интеграла.

Покажем, что интегрирование приводится к квадратурам. В самом деле, интеграл кинетической энергии после замены его значением принимает вид

Чтобы получить проекцию траектории на плоскость исключим отсюда при помощи уравнения площадей. Тогда найдем

или, полагая и разрешая относительно получим

Знак, который нужно взять, определится из рассмотрения направления начальной скорости. Уравнение геодезической линии в конечной форме будет

Это уравнение содержит две постоянные , которые можно, например, определить из условия, что геодезическая линия проходит через две заданные точки. Из этих двух постоянных лишь первая влияет на форму кривой; изменение второй постоянной дает поворот геодезической линии вокруг оси поверхности.

Обозначив через элемент дуги меридиана, получим

и дифференциальное уравнение геодезических линий можно будет написать в другом виде:

Примечание. В рассматриваемом случае имеем

где — функция от Одно из уравнений Лагранжа будет

Так как Т не содержит , то равно нулю и мы получим

Таким образом, мы снова приходим к уравнению площадей.