59. Ускорение в относительном движении. Теорема Кориолиса.

Выше мы изложили очень важную теорему, устанавливающую связь между абсолютной скоростью движущейся точки и ее относительной скоростью относительно некоторой системы (5). совершающей известное движение.

Мы ставим себе задачей доказать такого же рода теорему, связывающую между собой абсолютное, и относительное ускорения. Мы будем пользоваться аналитическим методом, который даст также и теорему о скоростях, доказанную ранее геометрически.

Для определения движения системы отсчета , относительно которой изучается относительное движение, введем три подвижные оси Охуг, неразрывно связанные с , и зададим их движение так же, как мы это делали в п. 51. Пусть М — движущаяся точка. Так как она движется и в системе (5) и в пространстве, то ее координаты относительно подвижных осей и ее абсолютные координаты будут функциями времени. Эти координаты связаны формулами

Точка М имеет абсолютную скорость и абсолютное ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны

Ее относительные скорость и ускорение имеют на подвижные оси проекции

а на неподвижные оси — проекции

Точка М имеет также переносные скорость и ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны

Эти формулы получаются, если рассматривать как постоянные, так как переносными скоростью и ускорением точки М называются скорость и ускорение, которые имела бы эта точка, если бы она была неизменно связана с подвижными осями.

Дифференцируя формулы (1) по мы получим аналитическое выражение теоремы, доказанной ранее абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости.

После второго дифференцирования формул (1) получим

и две аналогичные формулы для вторых производных величин

Для уяснения смысла этих равенств рассмотрим вектор имеющий начало точке М и следующие проекции на неподвижные оси:

Этот вектор называется добавочным ускорением. Уравнения (2) показывают, что проекция вектора на каждую из неподвижных осей равна сумме проекций и на ту же ось, т. е. что вектор есть геометрическая сумма векторов

Следовательно, абсолютное ускорение есть результирующая относительного ускорения, переносного ускорения и добавочного ускорения.

Остается найти простое истолкование вектора У. С этой целью найдем проекции вектора на подвижные оси. Очевидно, имеем

Система отсчета относительно которой рассматривается относительное движение, представляет собой движущееся твердое тело или неизменяемую систему. На основании полученных ранее результатов мы знаем, что скорости ее различных точек в рассматриваемый момент будут такими же, как если бы эта система совершала поступательное движение и мгновенное вращение с проекциями на подвижные оси, причем

При помощи этих формул сразу находим:

Рис. 50.

Рассмотрим точку (рис. 50), имеющую в подвижных осях координаты координаты конца вектора с началом в точке О, равного и параллельного относительной скорости Тогда проекции У на оси х, у, z равны удвоенным проекциям скорости, которую будет иметь эта точка если угол предполагаемый неизменяемым, будет вращаться с угловой скоростью со вокруг как вокруг неподвижной оси. Следовательно, вектор У по величине и направлению равен удвоенной этой скорости, т. е. удвоенному моменту вектора относительно точки Этот вектор приложен в точке М. Более подробно его можно определить так: вектор У перпендикулярен плоскости мгновенной оси и относительной скорости; он равен по величине

удвоенному произведению на расстояние от точки до оси наконец, он направлен по отношению к плоскости в ту сторону, куда мгновенное вращение стремится повернуть конец V вектора параллельного относительной скорости. Итак, имеем:

Вектор У обращается в нуль, если один из трех множителей: — обращается в нуль. Наиболее важными являются следующие случаи.