199. Первые интегралы.
Первым интегралом уравнений движения называется соотношение вида
связывающее 
и одну произвольную
постоянную С и имеющее место вследствие уравнений движения, каковы бы ни были начальные условия. Можно всегда представить это соотношение, разрешенным относительно С и написать его в виде
Нетрудно непосредственно проверить, что соотношение такого вида является первым интегралом. Дифференцируя по 
получим
или, заменяя вторые производные от х, у, z их значениями, взятыми из уравнений движения, получим
Это последнее уравнение содержит только величины 
и так как оно должно иметь место, каковы бы ни были начальные условия, т. е. каковы бы ни были значения, приписываемые этим величинам, то оно должно удовлетворяться тождественно.
Практическая полезность какого-либо первого интеграла с точки зрения интегрирования уравнений (1) заключается в том, что он позволяет понизить на одну единицу число неизвестных. В самом деле, соотношение (5) позволяет выразить одну из неизвестных 
как функцию остальных неизвестных и 
Несколько первых интегралов
являются независимыми, когда из них нельзя исключить все величины 
Если такое исключение возможно, то оно приведет к соотношению между постоянными 
которое, очевидно, не может содержать независимую переменную 
являющуюся произвольной. Отсюда следует, что число независимых первых интегралов, которые можно найти, равно шести, так как если 
больше 6, то всегда можно исключить шесть величин 
Если известны 
первых интегралов (6), то в уравнениях 
можно уменьшить на 
единиц число неизвестных. Действительно, из уравнений (6) можно выразить 
этих неизвестных в функции 
остальных неизвестных и времени 
Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.
Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число 
равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно 
получится общий интеграл уравнений движения.
Аналогичные рассуждения применимы, как мы увидим дальше, и к движению точки по кривой или по поверхности.
По вопросам анализа, с которыми мы здесь столкнулись, мы отсылаем к нашему Cours d’Analyse и l’Ecole Centrale, гл. XXII.
