175. Принцип Торричелли.

Мы видели как следствие принципа возможных скоростей, что для нахождения положений равновесия тяжелой системы достаточно приравнять нулю вариацию высоты центра тяжести. Лагранжу принадлежит важное замечание, что если принять, как и Торричелли, в качестве очевидного принципа это условие равновесия тяжелой системы, то отсюда можно будет вывести принцип возможных скоростей во всей его общности (Аналитическая механика, том I, Статика, отдел I и отдел III, § V). Пусть, в самом деле, имеется система материальных точек на которые наложены заданные связи и действуют заданные силы (рис. 120). Рассмотрим определенное положение системы, в котором точки занимают положения а силы имеют значения На направлении силы вообразим неподвижную точку О, на некотором расстоянии Если сместить бесконечно мало систему из рассматриваемого определенного положения, то точка перейдет в и возможная работа силы будет равна так как имеем (п. 84, пример III):

Следовательно, сумма возможных работ сил будет

Рис. 120.

Требуется доказать, что необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемое частное положение представляет положение равновесия, является равенство нулю величины

Для этого заметим, что мы можем заменить действие силы натяжением нерастяжимой нити, закрепленной в точке проходящей через бесконечно малый блок и несущей натягивающий груз равный Если мы проделаем эту операцию с каждой из сил то мы заменим предложенную систему тяжелой системой и первоначальная система будет служить лишь для нахождения соотношений между грузами Тяжелая система может находиться или не находиться в равновесии в том же самом положении. Но для того, чтобы тяжелая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы вариация ординаты центра тяжести грузов равнялась нулю; эта вариация определяется формулой

где ось направлена вертикально вниз, Р — общий вес и — координаты центров тяжести грузов Очевидно, что так как нить имеет постоянную длину. Следовательно, имеем

так как Для того чтобы первоначальная система была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы т. е. чтобы для любого перемещения, допускаемого связями, обращалась в нуль величина что и представляет принцип возможных скоростей во всей его общности.

Примечание. Если материальной системе с нитями и с грузами придать какое-нибудь положение, отличное от рассматриваемого частного, то заданными силами будут а натяжения нитей равные будут отличаться и по величине и по направлению от сил Однако в рассматриваемом частном положении заданные силы равны натяжениям, так что если это положение является положением равновесия системы под действием заданных сил, то оно будет положением равновесия и под действием натяжений. Но так как для положения, даже бесконечно близкого к силы отличаются от натяжений, то может случиться, что это положение равновесия системы будет устойчивым под действием заданных сил и неустойчивым под действием грузов

В упражнениях (6) будут указаны некоторые свойства положений равновесия системы, аналогичные только что подробно изложенным, в частности свойство, указанное Гауссом и Мёбиусом, относительно минимума суммы квадратов.