ГЛАВА XVI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ. ПРИЛОЖЕНИЯ

291. Историческая справка.

Уравнения движения свободной точки или точки, движущейся по поверхности или по кривой как подвижным, так и неподвижным, были составлены Лагранжем в одинаковой для всех этих случаев форме с той лишь разницей, что число параметров, подлежащих определению в функции времени, равно трем для свободной точки, двум для точки на поверхности, и одному для точки на кривой (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что уравнения самой общей задачи динамики системы могут быть составлены в этой же форме, но число параметров будет каким угодно, при условии, что связи могут быть выражены в конечной форме а что эта параметры действительно являются координатами.

Излагаемые ниже преобразования и теоремы применимы только в том случае, когда проекции X, Y, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к точке, суть частные производные функции которая может содержать явно время Уравнения Лагранжа будут тогда иметь вид:

где для свободной точки, для точки на поверхности и для точки на кривой. Мы будем вести изложение, предположив для определенности, что точка свободна, ; тогда будут три уравнения и три параметра Но, как мы увидим, выкладки не будут зависеть от числа уравнений (1).

Преобразование, начатое Пуассоном и законченное Гамильтоном, позволяет написать уравнение в форме, которая содержит частные производные только от одной функции и которая очень удобна для теоретических исследований.

Эта форма привела Якоби к замечательной теореме об интегрировании уравнений движения.