250. Циклоидальный маятник.

Под этим термином мы понимаем материальную точку, перемещающуюся без трения по циклоиде с горизонтальной осью, расположенной в вертикальной плоскости и обращенной вогнутостью вверх.

Примем за начало самую низкую точку кривой и за ось — направленную вверх вертикаль; пусть - радиус образующего круга.

Напомним прежде всего некоторые элементарные свойства циклоиды. Рассмотрим какое-нибудь положение образующего круга и соответствующее

положение точки М, описывающей циклоиду. Нормалью к кривой будет прямая (рис. 159), центр кривизны находится в точке Е, симметричной к М Ьтносительно В, и геометрическое место центров кривизны Е является циклоидой, одинаковой с заданной и с вершинами в точках А и А. Наконец, касательная равна половине дуги которую мы обозначим через

В прямоугольном треугольнике имеем

т. е.

Проекция веса на касательную, равная будет . Следовательно, уравнение кинетической энергии, или естественное уравнение, будет

Мы вновь получили такое же уравнение, как и в случае прямолинейного движения материальной точки, притягиваемой неподвижным центром пропорционально расстоянию. Общий интеграл этого уравнения будет

он приводится к виду

если в начальный момент дуга а начальная скорость равна нулю. При этих условиях время, необходимое для достижения наиболее низкой точки, равно Период колебания не зависит, следовательно, от начального положения точки, т. е. от амплитуды: движение будет таутохронным.

Рис. 159.

Гюйгенс осуществил циклоидальный маятник следующим образом: в точке возврата О развертки он закрепил нить длины равной дуге развертки. По указанным выше свойствам, если нить заставить последовательно огибать обе дуги и то конец М нити опишет рассматриваемую циклоиду.

Нормальная реакция. Одно из естественных уравнений движения будет

Но

где через а обозначен угол между нормалью и вертикальной линией и

равно проекции на вертикаль. Тогда

В частном случае, когда точка отпускается без начальной скорости из точки возврата, имеем первое отношение станет равным второму и реакция будет

т. е. она будет по модулю равна, а по направлению противоположна удвоенной нормальной составляющей веса (Эйлер).