149. Та же задача на поверхности.

Нахождение фигуры равновесия нити на поверхности в случае, когда существует силовая функция, также приводится к определению максимума или минимума некоторого определенного интеграла.

Среди всех кривых, проведенных на неподвижной поверхности S и. соединяющих две ее заданные точки А и В, нужно найти те, которые обращают интеграл

в максимум или минимум.

Пусть С — искомая кривая, а С, — проведенная на поверхности между теми же двумя точками А и В бесконечно близкая кривая. Обозначим через координаты точки М кривой С. Тогда координаты бесконечно близкой к ней точки кривой будут

где для краткости несколько изменены обозначения, принятые в и пишется вместо

Если отбросить величины, содержащие то согласно выкладкам, приведенным в п. 146 для вариации интеграла I, соответствующей переходу от кривой С к кривой имеющей те же концы, получается выражение

В рассматриваемом случае эта вариация должна быть равна нулю при переходе не к произвольной бесконечно близкой кривой, но к бесконечно близкой кривой, лежащей на поверхности. Вследствие этого не все три вариации произвольны; если

есть уравнение поверхности то должно выполняться условие

которое выражает, что вариация функции равна нулю при переходе от С к и которое показывает, что одна из вариаций, например есть функция двух других вариаций и которые остаются произвол ными. При этом условии, обозначая через X произвольную функцию, получим

Вычтем этот равный нулю интеграл из Ы. Получим

где член с аналогичен двум первым членам. Эта вариация должна быть равна нулю, каковы бы ни были . Мы можем распорядиться величиной X таким образом, чтобы коэффициент при обратился в нуль. Тогда величина, стоящая под знаком интеграла, будет содержать только члены с и так как должно равняться нулю при любых , то коэффициенты при этих двух вариациях должны тоже равняться нулю. Таким образом, при подходящем выборе X получаются три следующих уравнения, которые мы выписываем с обратными знаками:

Эти уравнения, вместе с уравнением поверхности, определяют искомые кривые С.

Но эти уравнения в точности совпадают с уравнениями равновесия нити, лежащей на поверхности когда силовая функция равна — а натяжение равно Мы получаем, таким образом, результат, тождественный с тем, который мы получили для кривых в пространстве.

Пример. Если то интеграл определяет длину кривой Следовательно, если искать на поверхности линии наименьшей длины, соединяющие две точки А и В, то получится фигура равновесия нити, которая лежит на поверхности и на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы