II. Первые примеры. Системы с полными связями. Простые машины

168. Системы с полными связями.

Говорят, что система материальных точек является системой с полными связями (с одной степенью свободы), если ее положение зависит только от одного параметра. В такой системе каждая точка описывает определенную неподвижную кривую и положение одной точки на траектории определяет положение всех остальных точек. Например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, является системой с полными связями: положение тела зависит только от угла, на который оно повернулось от начального положения. Каждая точка ела описывает окружность, перпендикулярную к оси вращения, с центром на этой оси; положение одной из этих точек определяет положение всех остальных. Винт, движущийся в неподвижной гайке, цепь, скользящая по неподвижной кривой, являются системами с полными связями.

Эти системы являются наиболее простыми из всех, так как им можно сообщить только одно возможное перемещение, допускаемое связями, а именно то, которое получится, если бесконечно мало изменить единственный параметр, определяющий положение системы. Следовательно, существует только одно условие равновесия такой системы.

169. Простые машины.

Простые машины являются системами с полными связями. На машины действуют две силы: одна Р, называемая движущей силой, и другая называемая сопротивлением. Для нахождения условия равновесия машине сообщают единственное бесконечно малое возможное перемещение, допускаемое связями. Пусть в этом перемещении — проекция на направление Р перемещения АА точки А приложения движущей силы, а — проекция на перемещения точки В приложения сопротивления (рис. 110). Тогда условие равновесия будет

Вводя вместо перемещений возможные скорости, получим условие

где — проекция на Р возможной скорости точки — проекция на возможной скорости V точки В. Следовательно, при равновесии движущая сила и сопротивление находятся в отношении, обратном отношению проекций возможных скоростей точек приложения этих сил на направления сил. Это — то, что Галилей высказал в следующей форме: «То, что выигрывается в силе, теряется в скорости».

1°. Клановый пресс. Клин есть равнобедренная треугольная призма, зажатая между двумя толстыми досками, из которых одна неподвижна, а другая перемещается горизонтально. Движущей силой является вертикальное давление, действующее на основание клина, которое предполагается горизонтальным.

Рис. 110.

Рис. 111.

Сопротивлением является горизонтальная сила противодействующая перемещению горизонтальной подвижной доски. Рассмотрим возможное перемещение, при котором клин переходит из в (рис. 111) опускаясь при этом на

Перемещение равно со знаком минус, т. е. если угол С равен , то

Следовательно, условие равновесия будет

или

Применение клина тем выгоднее, чем меньше угол.

2°. Винтовой пресс. Допустим, что движущей силой является сила Р, перпендикулярная оси винта (рис. 112) и приложенная в точке А на

расстоянии а от этой оси нормально к плоскости а сопротивление действует вдоль самой оси. При бесконечно малом повороте единственном перемещении, допускаемом связями, проекция на Р дуги винтовой линии, описываемой точкой А, есть дуга круга радиуса а с центральным углом :

Что касается то оно имеет значение

где — шаг винта, так как перемещение винта вдоль оси пропорционально его повороту, а шаг есть значение этого перемещения при полном повороте винта.

Условие равновесия имеет вид

Отсюда следует, что выгодно увеличивать расстояние а и уменьшать шаг винта.

Рис. 112.

3°. Коромысловые весы Квинтенса. Весы состоят из коромысла (рис. 113), вращающегося вокруг точки О и несущего при помощи шарнирно связанных с ним стержней и две горизонтальные платформы, из которых одна опирается в на неподвижное лезвие, а другая в на лезвие неразрывно связанное с платформой Взвешиваемое тело помещают на верхнюю платформу и уравновешивают гирей Р, подвешенной в точке А таким образом, что коромысло занимает горизонтальное положение. При бесконечно малом повороте коромысла вокруг оси, очевидно, имеем

Рис. 113.

Что касается перемещения то оно будет зависеть от положения груза на площадке если только эта площадка не перемещается параллельно самой себе, т. е. если точки и В не повышаются на одинаковые величины. Чтобы выразить это условие, заметим, что точка В поднимается на ту же величину, что и В, т. е. на точка С поднимается на величину на ту же величину поднимается точка С. Точка увлекающая за собой и точку поднимается на Следовательно, искомое условие будет следующее:

Оно выражает, что прямые и пересекаются на При таком предположении имеем

и весы будут в равновесии, если будет выполнено условие

и все происходит так, как если бы взвешиваемое тело было непосредственно подвешено в точке В.

4°. Весы Роберваля. Шарнирный параллелограмм (рис. 114) может поворачиваться вокруг середин двух противоположных сторон, причем эти точки лежат на одной вертикали. Стороны будут, очевидно, оставаться вертикальными.

Рис. 114.

Если к ним прикрепить две площадки, то их возможные перемещения будут равны, но противоположных знаков, так что для равновесия положенных на них двух грузов Р и необходимо, чтобы эти грузы были одинаковы. Так же, как и в случае коромысловых весов, условие равновесия не зависит от положения тел на площадках. Более того, равновесие будет иметь место во всех положениях: оно будет безразличным.

Рис. 115.

До сих пор мы пренебрегали весом стержней. Так как веса вертикальных стежней и одинаковы, то сумма их возможных работ равна нулю и так как веса стержней и приложены в неподвижных точках О и О, то сумма их работ также равна нулю. В действительности стержни и заменяются твердыми телами с весами центры тяжести которых находятся в точках и когда линии и горизонтальны. Допустим, что равновесие установлено в этом положении. При возможном перемещении системы точки и перемещаются нормально к описывая дуги окружностей с центрами соответственно в точках О и О. Следовательно, сумма возможных работ весов будет по-прежнему равна нулю и условием равновесия будет всегда Только равновесие не будет безразличным, так как в другом положении в расчет войдут работы весов

5°. Кривошипный механизм. Стержень (рис. 115) шарнирно связан концом А с неподвижной осью, а концом О — со стержнем длины конец которого В скользит без трения по вертикали, проходящей через точку А. На палец неизменно связанный с действует движущая сила которую мы можем считать перенесеной в точку Е ее направления, являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на Р. Сопротивлением является вертикальная сила препятствующая движению точки В.

Единственным перемещением, допускаемым связями, будет то, которое получится, если повернуть стержень на угол Ы. При этом перемещении работа силы Р будет

Работа сопротивления равна — где х — расстояние Из треугольника имеем

и, дифференцируя, получаем

откуда

так что условие равновесия будет

Проведем и перпендикулярно к и обозначим через С точку пересечения последнего перпендикуляра с продолжением линии Имеем

и условие равновесия напишется в такой простой форме:

Рис. 116.

6°. Полиспасты и тали. Полиспаст состоит из двух систем блоков, каждая из которых смонтирована в общей обойме, причем блоки насажены на общую ось или на отдельные оси. Первая система неподвижна, а вторая движется (рис. 116). Допустим, что каждая система состоит из трех блоков: первая — из блоков А, А, А" и вторая — из блоков . В неподвижной точке В обоймы первой системы закреплена веревка, которая последовательно перекидывается через Движущая сила Р является натяжением, действующим на свободный конец веревки. Сопротивлением является груз, подвешенный внизу подвижной системы. Шесть частей веревки, заключенных между обеими системами блоков, можно рассматривать как параллельные. Так как общая длина нити остается неизменной, то при перемещении свободного конца нити на каждая из ее частей, заключенных между двумя системами блоков, укоротится на Это выражение, взятое с обратным знаком, является значением и при равновесии получаем

7°. Нерастяжимая цепь, скользящая без трения по неподвижной кривой. Пусть А и В — концы цепи, толщина которой принимается бесконечно малой, — сила, непосредственно приложенная к элементу

находящемуся в точке проекция этой силы на касательную к кривой в точке С в направлении Сообщим системе единственно возможное перемещение, допускаемое связями, при котором вся цепь целиком, а вследствие этого и каждый ее элемент, скользит вдоль кривой на общую величину равную (рис. 117). Возможная работа силы равна , приравнивая сумму этих работ нулю и замечая, что может быть выведено из суммы в качестве общего множителя, получим условие равновесия

Рис. 117.

Это условие достаточно, если предположить, что цепь во всех точках растянута, а не сжата. Например, если на цепь не действуют никакие силы, кроме двух сил Р и приложенных к концам, то условие равновесия будет

8°. Равновесие несжимаемой жидкости в очень узкой трубке. Уже Галилей пользовался принципом возможных скоростей для доказательства основных теорем гидростатики. Декарт и Паскаль также пользовались этим принципом для изучения движения жидкостей. Для того чтобы можно было приложить принцип возможных скоростей к жидкости, пренебрегая работой внутренних сил, необходимо, чтобы работа внутренних сил жидкости или реакций связей равнялась нулю при любом возможном перемещении, допускаемом связями, т. е. чтобы соседние молекулы оставались на постоянных расстояниях (несжимаемая жидкость) и чтобы не было внутренних трений (идеальная жидкость). Мы позаимствуем пример у Лагранжа (Статика, раздел 7).

Рис. 118.

Рассмотрим несжимаемую жидкость, заключенную в бесконечно тонкой трубке заданной формы, поперечное сечение которой изменяется по заданному закону. Для большей точности можно себе представить, что трубка образована перемещающимся бесконечно малым плоским элементом, остающимся все время нормальным к заданной кривой S (рис. 118). Пусть А и В — концы жидкой колонки, удерживаемой двумя бесконечно малыми поршнями, — элемент этой колонки в положении С, где поперечное сечение равно . Обозначим через силу, приложенную к элементу и через — ее проекцию на касательную к кривой S в направлении т. е. на нормаль к Сообщим жидкости единственно возможное для нее перемещение, допускаемое связями, перемещение, при котором вся колонка совершает скольжение как целое на бесконечно малую величину. При этом скольжении элемент находящийся в С, описывает по кривой S дугу так что равно количеству жидкости, проходящей через сечение трубки. Вследствие несжимаемости жидкости необходимо, чтобы это количество было всюду одинаковым. Можно положить а — одинаково на всем протяжении трубки. Работа равна тогда или и сумма возможных работ

непосредственно приложенных сил равна Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия будет

предполагая, что колонка сжата во всех своих точках.

Например, если единственными силами, приложенными к жидкости, являются нормальные давления приложенные к поршням А и В с сечениями то условие равновесия будет

Примечание. К этому же самому уравнению равновесия жидкости можно прийти при следующих условиях. Представим себе замкнутый сосуд произвольной формы, из которого выведены две цилиндрические трубки А и В с сечениями Допустим, что сосуд заполнен жидкостью, на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы, и что трубки закрыты двумя поршнями А и которые действуют нормальные давления Если поршень А вдвинуть на бесконечно малую величину то внутренний объем уменьшится на необходимо, следовательно, чтобы поршень В поднялся на такую величину что Так как сумма возможных работ очевидно, равна — то имеем уравнение равновесия

На этой зависимости основано устройство гидравлического, пресса.