174. Приложения. Тяжелые системы.

Когда система, для которой ищутся положения равновесия, находится под действием только сил тяжести, являющихся непосредственно приложенными силами, то, очевидно, существует силовая функция непосредственно приложенных сил. В самом деле, полагая, что ось направлена вертикально вниз, получим для точки имеющей вес возможную работу, равную Следовательно, для суммы возможных работ получится

где С — ордината центра тяжести. Тогда положениями равновесия будут те, для которых равно нулю. Они совпадают с теми положениями, которые получаются при нахождении максимума или минимума координаты С, рассматриваемой как функция от геометрически независимых параметров определяющих положение системы.

Примеры. 1°. Найдем положение равновесия однородного тяжелого стержня (рис. 119), скользящего без трения своими концами по коническому сечению, фокальная ось которого вертикальна (система с одной степенью свободы). Прежде всего очевидными положениями равновесия, если только они возможны, будут горизонтальные положения. Для нахождения остальных положений равновесия рассмотрим директрису и пусть и — расстояния от точек А и В до этой директрисы. Расстояние прямой от центра тяжести находящегося на середине стержня равно

Но если — эксцентриситет и фокус, соответствующий директрисе то, как известно, и равны соответственно — и откуда получаем

Рис. 119.

Следовательно, расстояние будет максимумом или минимумом одновременно с а последняя сумма будет, очевидно, минимумом, когда прямая проходит через фокус Таким образом, если прямая может проходить через фокус, то каждое ее положение является положением равновесия. В случае, показанном на фигуре, когда прямая проходит через она будет находиться в неустойчивом положении равновесия, так как в этом положении ее центр тяжести будет выше, чем в соседних положениях. Она

будет в устойчивом положении равновесия, когда будет проходить через другой фокус как это видно, если взять вторую директрису

2°. Тяжелая, однородная или неоднородная цепочка, концы которой закреплены или могут скользить по неподвижным кривым или поверхностям, занимает положение равновесия, являющееся тем из возможных положений, этой цепочки, при котором высота ее центра тяжести имеет максимум или минимум. Например, из всех однородных кривых заданной длины проходящих через две неподвижные точки, та из них, центр тяжести которой занимает самое низкое положение, является найденной ранее цепной линией. Отсюда следует, что если на плоскости взять неподвижную ось и две неподвижные точки А и В, то из всех кривых заданной длины лежащих в этой плоскости и проходящих через эти точки, цепная линия опишет при вращении вокруг оси поверхность наименьшей площади. В этом убеждаемся на основании теоремы Гюльдена, так как описанная площадь, равная обращается в минимум одновременно . Можно оставить в стороне условие относительно длины и вновь установить, по Крайней мере частично, один полученный ранее результат. Из всех кривых, лежащих в плоскости и проходящих через А и В, та, которая описывает наименьшую площадь, является некоторой цепной линией. В самом деле, пусть С — эта кривая. Она является, в частности, одной из всех кривых такой же длины, что и сама кривая С, описывающих наименьшую площадь. Следовательно, она действительно является цепной линией, имеющей основание, параллельное оси Остается среди всего этого бесчисленного множества цепных линий найти ту, которая описывает наименьшую площадь. Последняя, как мы видели (п. 148, пример 1), является той, которая имеет основанием ось