232. Задача Бертрана.

Найти закон центральных сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих ее описывать коническое сечение, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была поставлена Бертраном в т. LXXXIV Comptes Rendus и разрешена одновременно Дарбу и Альфеном. Дарбу изложил свое решение в примечании в конце «Механики» Депейру. Мы изложим решение Альфена с некоторыми изменениями, позволяющими упростить вычисления. Этот метод Альфена основан на составлении дифференциального уравнения конических сечений.

Общее уравнение конического сечения, разрешенное относительно у,

содержит пять произвольных коэффициентов , Дифференцируя дважды и обозначая через производные от у по х, найдем

Следовательно, величина является многочленом второй степени относительно х и ее третья производная равна нулю. Таким путем получается данное Альфеном дифференциальное уравнение конического сечения:

Это — уравнение пятого порядка.

Установив это, рассмотрим точку массы 1, находящуюся под действием центральной силы зависящей только от координат точки приложения относительно двух прямоугольных осей имеющих начало в точке через которую проходит сила. Если время обозначить через то уравнения движения будут

где

Интеграл площадей имеет вид

Сделаем преобразование

и положим

Тогда получим

Отсюда

Эти уравнения показывают, что зависимость движения точки от времени такова же, как материальной точки, находящаяся под действием силы

постоянно параллельной оси Эта сила У является функцией от и, следовательно, на основании соотношений (2) — также функцией от х и у. Если точка описывает коническое сечение, то точка также описывает коническое сечение, являющееся томографическим преобразованием первого, и наоборот. Таким образом, мы привели задачу к отысканию закона параллельных сил У, заставляющих их точку приложения описывать коническое сечение при любых начальных условиях. Эта задача может быть разрешена следующим образом.

Так как уравнения движения имеют вид

и дифференциальное уравнение траектории будет

где У — функция от х и у. Обозначим через производные от у по х. Выражение (5) для должно удовлетворять дифференциальному уравнению конических сечений, каковы бы ни были начальные условия. Обозначив через постоянную, положим

Тогда Произведя действия, получим:

Так как на основании равенств (5) и (6)

то уравнение напишется так:

Это условие должно выполняться при любых начальных условиях, поэтому оно должно тождественно удовлетворяться, каковы бы ни были

и. так как в начале движения эти четыре величины произвольны. Имеем, следовательно,

Условия (7) показывают, что является многочленом второй степени

Этот многочлен должен удовлетворять условиям (8); здесь необходимо различать два случая в зависимости от того, равен ли коэффициент С нулю или нет.

1°. . Тогда и второе из тождеств (8) дает выражение

которое удовлетворяет, как это можно непосредственно проверить, также и первому из тождеств (8).

2°. С = 0. Тогда из второго тождества (8) имеем не зависит от у. Следовательно,

и первое из тождеств (8), очевидно, удовлетворяется.

Таким образом, имеется два закона параллельных сил, отвечающих требованиям задачи. Эти законы на основании равенства (6) выражаются формулами:

Следовательно, имеется также два закона для центральных сил, удовлетворяющих требованиям задачи. На основании формул преобразования (2) и (4),

эти силы определяются формулами:

Это и будут два закона сил, открытых Дарбу и Альфеном.

Если перейти к полярным координатам то получатся два следующих закона сил:

где вместо написано

Если допустить, что действие звезды на какую-нибудь материальную точку зависит только от расстояния между точкой и звездой, а не от направления радиуса-вектора, то обе силы не должны зависеть от , и тогда для первой силы требуется, чтобы для второй, — чтобы Вместе с тем эти случаи являются единственными, когда для обоих законов сил существует силовая функция. Законы сил при этом будут

При первом законе, когда сила пропорциональна расстоянию, точка приложения будет описывать коническое сечение с центром в центре сил. Это не будет справедливым для двойных звезд, так как если центр действительной траектории звезды-спутника совпадает с главной звездой, то то же будет и для видимой траектории.

Таким образом, остается только второй закон, согласно которому сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Это — закон Ньютона. Согласно этому закону звезда-спутник будет описывать вокруг главной звезды эллипс, в фокусе которого находится главная звезда. Для нахождения действительной траектории спутника необходимо разрешить следующую задачу геометрии.

Зная проекцию эллипса на плоскость и зная, что один из его фокусов находится в определенной точке Е плоскости, определить этот эллипс в пространстве.

Задача имеет два решения, симметричных относительно плоскости проекции.