304. Уравнения движения планеты в форме Якоби.

Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость и обозначим через расстояние от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения

так как сила притяжения равна и поэтому силовая функция равна

Следуя методу предыдущего примера, мы найдем полный интеграл, который будет уравнением движения планеты в классической форме.

Якоби нашел другой полный интеграл следующим образом. Пусть А — произвольная точка на оси Обозначим через расстояние так что

и положим

Покажем, что функция

представляет собою полный интеграл уравнения (1) с произвольной постоянной отличной от аддитивной. В самом деле, так как а и а зависят от х и у через то имеем:

откуда, возводя в квадрат, складывая и замечая, что члены, содержащие произведение двух квадратных корней, уничтожаются, получаем

В этом выражении коэффициент при равен двум; чтобы вычислить коэффициент при заметим, что имеем тождественно

откуда найдем, что члены с приводятся к

Таким образом, мы убеждаемся, что функция является интегралом уравнения Якоби (1) с постоянной Уравнения движения в конечной форме теперь будут

Первое уравнение представляет собою траекторию. Написав его в развернутом виде» найдем:

так как а и а зависят от и

Выражение под знаком интеграла представляет собою производную от

и уравнение траектории после приведений принимает вид

Приведем это уравнение к такому виду, чтобы оно содержало только расстояния от движущейся точки до двух неподвижных точек О и А. Исходя из тождеств

напишем уравнение

где — новая постоянная. Это является, следовательно, уравнением траектории в биполярной системе координат с полюсами в точках О и А.

Такой вид уравнения непосредственно показывает, что траектория прог ходит через точку А, так как, освободившись от знаменателя и положив , следовательно, мы, очевидно, удовлетворим этому уравнению.

На основании того, что мы знаем о движении планет, это уравнение представляет собою коническое сечение, род которого зависит только от знака постоянной Л кинетической энергии (п. 227).

Чтобы вычислить время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки ее орбиты, достаточно написать второе из уравнений (3),

которое на основании значения представится в виде легко вычисляемой квадратуры

Эта формула выражает через радиусы-векторы время, отсчитываемое от момента, когда планета проходит через точку А, так как в этой точке обращается в нуль.

В случае параболической орбиты равно нулю (п. 227). Тогда получается формула, установленная Эйлером, но часто несправедливо приписываемая Ламберту. В этом случае

Эта формула определяет время, затрачиваемое точкой для перехода из положения А в положение М, выраженное в функции радиусов-векторов точек А и М и хорды

Следует заметить, что в этой формуле перед вторым корнем надо сохранять знак минус до тех пор, пока корень не обратится в нуль, т. е. до тех пор, пока угол остается меньше 180°, так как в треугольнике сторона может стать равной сумме двух других сторон только тогда, когда угол становится равным 180°. После этого нужно изменить знак второго корня. Эта формула играет важную роль в методе Ольберса определения орбит комет (см. Тиссеран, Mecanique celeste т. 1, стр. 114). В случае, когда отлично от нуля, формула (5) после квадратуры представит собою обобщение формулы Эйлера на случай эллиптических и гиперболических орбит, данное впервые Гауссом. (См. Якоби, Vorlesungen iiber Dynamik, лекция 25.)