252. Таутохроны.

Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О называется точкой таутохронизма.

Необходимо различать два случая, а именно: будет ли точка находиться под действием сил, зависящих только от ее положения, или зависящих также и от скорости.

Первый случай. Силы зависят только от положения. Тогда возникает следующая задача

Пусть F(X, Y, Z), где X, Y, Z — функции только х, у, z — суть заданные силы. По какой кривой нужно заставить двигаться без трения точку, чтобы движение было таутохронным?

Допустим, что одна из этих таутохронных кривых найдена, и будем отсчитывать дуги от точки таутохронизма О. Имеем уравнение движения

Вдоль кривой координаты х, у, z являются функциями дуги Следовательно, X, Y, Z будут также определенными функциями от и в уравнении правая часть является функцией от Это уравнение будет тогда совпадать с уравнением прямолинейного движения, происходящим по оси под действием силы зависящей только от положения точки. Требуется, чтобы это движение было таутохронным. Но мы видели, на основании метода Пюизё (п. 213), что необходимое и достаточное условие таутохронизма заключается в том, что сила должна быть вида где — положительная постоянная. Следовательно, для того, чтобы предложенная кривая была таутохроной, необходимо и достаточно, чтобы

Всякая кривая, удовлетворяющая этому единственному условию, будет таутохроной. Точка таутохронизма будет, очевидно, положением устойчивого равновесия для точки, движущейся по этой кривой.

Чтобы закончить решение, можно произвольно задаться вторым условием. Вот, например, два различных способа выбора этого дополнительного условия.

1°. Можно заставить кривую находиться на заданной поверхности

Это уравнение и уравнение (1) совместно с очевидным уравнением

определяют х, у, z в функции Интегрирование этих уравнений введет еще две произвольные постоянные, кроме которая уже выбрана произвольно. Если сила имеет силовую функцию, то уравнение (1) сразу проинтегрируется, так как тогда

откуда

2°. Вместо того, чтобы заставлять кривую находиться на задан ной поверхности, можно потребовать, чтобы она была также таутохроной с той же самой точкой таутохронизма для другого закона силы зависящей только от положения движущейся точкй. Для этого необходимо и достаточно, чтобы, кроме уравнения (1), удовлетворялось еще уравнение

Оба уравнения (1) и (1) совместно с уравнением (3) определяют х, у, z в функции Полученная кривая будет таутохроной и для силы — положительные постоянные.

Если вторая сила имеет силовую функцию так же, как и первая, то будет еще

и тогда искомая кривая будет находиться на поверхности

Второй случай. Силы зависят от скорости. Допустим, что сила X, Y, Z может зависеть, но может и не зависеть от скорости. Кроме того, имеется сила сопротивления среды, которая является функцией скорости: где равно Уравнение движения по искомой кривой будет

где x, у, z — функции от Правая часть, в которой первые члены зависят от х, у, z, может быть выражена в

функции и Тогда уравнение будет совпадать с уравнением прямолинейного движения точки по оси под действием силы, зависящей от положения и скорости. Для этого случая не известны необходимые и достаточные условия таутохронизма; известно лишь, что таутохронизм будет иметь место, если сила следует некоторым определенным законам, например законам, установленным Лагранжем (п. 213). Следовательно, для нахождения таутохронных кривых нужно приравнять, если это возможно, выражение

одному из этих законов сил, например, закону Лагранжа.

Мы не рассматриваем здесь подробно этот случай, так же как и случай, когда к сопротивлению среды добавляется трение. Мы отсылаем читателя к статье Дарбу (Mecanique de Despeyrous, т. 1, добавление XIII), к статье Гатона де ля Гупийера (Journal de Liou-ville, т. XIII, серия 2) и к статье Адамара (Proces-verbaux des sdances de la Societ6 des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 7 февраля 1895).