277. Сферический маятник.

Сферический маятник состоит из тяжелой точки, движущейся без трения по неподвижной сфере. Примем за начало координат центр сферы и направим ось вертикально вверх. В цилиндрических координатах уравнение сферы будет

где — длина маятника.

Течка находится под действием двух сил: силы тяжести и нормальной реакции сферы; следовательно, по теореме кинетической энергии имеем

так как работа реакции равна нулю. Более того, так как обе силы лежат в одной плоскости с осью то можно применить закон площадей к проекции движения на плоскость

Эти три уравнения определяют в функции

Найдем сначала Для этого нужно исключить . Уравнение кинетической энергии можно переписать так:

Из уравнения сферы получим

С другой стороны, из уравнения площадей имеем

Подставляя в уравнение кинетической энергии, получим

Полагая

найдем окончательно:

Таким образом, время выражается через эллиптическим интегралом. Знак перед радикалом определяется начальными условиями. Сомнение может возникнуть лишь в том случае, когда ; тогда нужно будет выяснить, должно ли увеличиваться или, наоборот, уменьшаться для того, чтобы оставалось положительным.

Формула показывает, что проекция движущейся точки на плоскость все время поворачивается в одну и ту же сторону вокруг оси если только С не равно нулю; в последнем случае 6 будет оставаться постоянным, и мы получим математический маятник. Если в этой формуле заменить их выражениями через то получим

Таким образом, и в определены в функции после этого найдется из уравнения сферы. Чтобы уравнения были вещественными, необходимо, чтобы многочлен был положителен. Этот многочлен имеет три вещественных корня. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить вместо последовательно значения — , для которых примет соответственно значения и заметить, что так как является начальным значением то будет положительным, так как начальное значение вещественно. Следовательно, имеются два вещественных корня и в промежутках и один корень в промежутке . Сумма попарных произведений этих корней равна следовательно,

Так как заключены между , то положительно, но отрицательно и поэтому положительно; следовательно, параллель, равноотстоящая от параллелей лежит всегда ниже центра, и корень а всегда положителен. Переменная начальное значение которой лежит между остается, всегда заключенной в этом промежутке, так как, если бы она из него вышла, то стало бы отрицательным.

Допустим для определенности, что начиная с сначала убывает. Тогда перед радикалом нужно будет взять знак минус и будет уменьшаться до значения так что когда точка достигнет параллели ее траектория будет иметь горизонтальную касательную, так как в этом положении обращается в нуль, а производная отлична от нуля.

Начиная с этого момента, движущаяся точка будет продолжать поворачиваться вокруг оси в том же направлении, но она будет при этом опускаться до параллели описывая дугу, касающуюся в этой параллели (рис. 169).

Рис. 169.

После этого она будет подниматься до параллели и т. д. Время, затрачиваемое точкой для перехода из будет

и оно будет таким же, как и время, необходимое для описания дуг и т. д.

Если начальная скорость точки направлена вдоль одной из крайних параллелей, то в начале движения будет Это — сомнительный случай, о котором мы говорили выше. Если точка начинает движение по параллели то должно возрастать и перед радикалом нужно взять знак плюс; во втором случае, когда движение начинается вдоль параллели нужно взять знак минус.

Меридианные сечения, проходящие через точки касания траектории с крайними параллелями являются для траектории плоскостями симметрии. В самом деле, рассмотрим две точки М и М ветвей и лежащие на одной параллели. Если — значения , соответствующие точкам то имеем

и

Следовательно, обе точки и М действительно симметричны относительно меридиана точки Кроме того, промежутки времени, затрачиваемые движущейся точкой для пробега дуг и одинаковы, так как они оба имеют одно и то же значение

Построим теперь проекцию траектории на. плоскость Мы будем различать два случая в зависимости от того, лежат ли крайние параллели на одной полусфере, или нет.

Первый случай. Обе крайние параллели лежат на нижней полусфере. Расположенная ниже окружность проектируется внутрь окружности кривая, касающаяся поочередно этих окружностей, имеет вид, изображенный на рис. 170; кроме того, мы увидим, что эта кривая не может иметь точек, перегиба. Наблюдателю, расположенному на оси кажется, что движущаяся точка описывает овал, который перемещается в направлении движения. Ниже мы покажем, что угол больше прямого.

Рис. 170.

Рис. 171.

Второй случай. Допустим теперь, что обе крайние окружности расположены по разные стороны экватора. Проекция окружности будет по-прежнему лежать внутри окружности так как . С другой стороны, проекция траектории должна касаться экватора в точке Е. Она имеет указанную на рис. 171 форму; при этом она может иметь точки перегиба.

Доказательством высказанного выше свойства, что угол всегда больше прямого, мы обязаны Пьюизё (Journal de Liouville, 1842). Этот угол имеет значение

Мы обозначили через корни функции , следовательно, имеем тождество

Раньше, приравнивая друг другу члены с мы получили

Теперь мы можем написать, заменяя этим значением,

Полагая в этом тождестве получим

Обозначая

имеем

и поэтому

Для оценки пределов этого интеграла определим пределы, между которыми заключен последний множитель Допустим, что найдены два положительных числа таких, что для значений заключенных между выполняется неравенство

Тогда интеграл будет заключен между двумя пределами, которые получатся, если в нем величину последовательно заменить величинами :

Определенный интеграл, входящий в это неравенство, содержит квадратный корень из квадратного трехчлена и может быть поэтому легко вычислен. Для него получается значение и предыдущее неравенство принимает вид

Первый выбор пределов который сразу приводит к теореме Пьюизё, будет следующий: множитель убывает или возрастает одновременно с потому что коэффициент положителен; так как заключен между , то этот множитель заключен между т. е. между . Следовательно, можно принять и мы видим, что заключено в пределах и каждый из которых больше чем . Если начальная скорость очень велика, то оба эти предела будут очень близки к . Действительно, при неограниченном возрастании величины А и также неограниченно возрастают, и уравнение после деления всех его членов на принимает вид

где — некоторая постоянна». При этих условиях корень у многочлена обращается в бесконечность, а корни стремятся к корням только что написанного трехчлена, которые равны и противоположны по знаку. Следовательно, в предельном случае имеем и оба найденных нами предела для равны Таким образом, мы видим, что когда неограниченно возрастает, то стремится к я; траектория стремится тогда обратиться в большой круг. Альфен доказал (Trait6 des fonctions elliptiques, т. II), что угол

не может стать больше предела . Сен-Жермен установил это же свойство более элементарным путем (Bulletin des Sciences mathmatiques, 1896, 1898, 1901 и Memoires de l’Academie de Caen, 1901).

Вернемся на время к общему случаю. Мы можем найти более узкие пределы для значения . В самом деле, так как множитель - возрастает или убывает вместе с то в интеграле, определяющем этот множитель будет заключен между крайними значениями, которые он принимает при Мы можем, следовательно, принять

и тогда получим

Когда 3 стремится к а, оба эти предела становятся равными и мы имеем

Эта формула позволяет определить значение когда траектория заключена между двумя бесконечно близкими параллелями. Если, кроме того, обе эти бесконечно близкие параллели находятся вблизи самой низкой точки сферы, то а будет очень мало отличаться от от . В этом последнем случае траектория близка к маленькому эллипсу. Такой же результат мы получим дальше при рассмотрении бесконечно малых колебаний.