144. Примеры.

1°. Геодезические линии. Наиболее простым будет тот случай, когда на нить, растянутую на поверхности, не действуют никакие другие силы, кроме нормальной реакции Тогда предыдущее уравнение переходит в и натяжение нити получается постоянным. Нить расположится по геодезической линии поверхности. Действительно, так как соприкасающаяся плоскость в какой-нибудь точке должна содержать силу то она будет нормальной к поверхности, что характеризует геодезическую линию.

Применим это к сфере. Так как реакции проходят через центр, то нить находится под действием центральных сил. Следовательно, ее фигура равновесия лежит в плоскости, проходящей через центр, и будет поэтому дугой большого круга.

Известно, что линия наименьшей длины, соединяющая две точки на поверхности, является одной из геодезических линий, проходящих через эти точки. Однако было бы неточным сказать, что каждая из геодезических линий будет минимальной по сравнению с бесконечно близкими линиями. Например, дуга большого круга, большая 180°, соединяющая две точки на сфере, является геодезической линией. Между тем возможно найти между этими двумя точками путь бесконечно близкий и в то же время более короткий. Наоборот, на замкнутом цилиндре все геодезические линии,

являющиеся винтовыми линиями, будут минимальными. Существует бесчисленное множество этих линий, соединяющих две точки на поверхности. Их можно получить, натянув по поверхности между этими точками нить и обернув ее один, два, раза вокруг цилиндра.

2°. Сферическая цепная линия. Фигура равновесия однородной тяжелой нити на сфере была исследована Бобилье (Жергоннь, 1829), Миндингом (Crelle, т. 12) и затем Гудерманом (там же, т. 33), который дал выражения интегралов при помощи эллиптических функций. Решение было дополнено Клебшем (Crelle, т. 57, § 6), Бирманом (Dissertation inaugurale, Берлин, 1865) и Шлегелем (Programm des K6niglichen Wilhelms Gymnasium, Берлин, 1884).

Приняв центр сферы за начало координат, направив ось вертикально вверх и, обозначив через вес единицы длины нити, получим сначала для натяжения Т значение Так как равнодействующая сил (веса и реакции), приложенных к находится все время в одной плоскости с осью то момент натяжения относительно этой оси постоянен. Следовательно, взяв в плоскости полярные координаты получим

где С — произвольная постоянная. Заменив в этом уравнении Т его значением и написав А вместо С, получим дифференциальное уравнение фигуры равновесия

Для интегрирования этого уравнения возведем его в квадрат и заметим, что вследствие соотношения

где а — радиус сферы,

Разрешая относительно получим

откуда определяем выражение 0 через при помощи квадратуры. Переменная может принимать лишь такие значения, для которых многочлен

положителен. Следовательно, обозначая через координату какой-нибудь точки нити, например одной из точек закрепления, имеем Но отрицательны, и поэтому многочлен имеет один корень между и а и один корень между . Переменная может изменяться только между пределами Кривая на сфере расположена между двумя параллелями которых она попеременно касается. Координаты точки кривой можно выразить через однозначные функции параметра и, определяемого уравнением

(См. статью Аппеля в Bulletin de la Societe mathematique, 1885 и статью Гомеца Тейксейра в Annales scientificos da Academia Polytechnica do Porto, т. IV, 1909.)