247. Нормальная реакция. Естественные уравнения.
Если применить естественные уравнения движения (п. 209), то получатся: во-первых, одно уравнение, определяющее движение, и, во-вторых, два уравнения, определяющие нормальную реакцию.
Рис. 156.
Проведем в точке М касательную 
в сторону возрастания дуг.
Пусть 
— радиус главной кривизны (рис. 156); проведем бинормаль 
Так как единственными силами, действующими на точку М, будут сила 
и нормальная реакция 
то естественные уравнения движения для рассматриваемого случая будут:
Первое из этих уравнений, являющееся не чем иным, как уравнением кинетической энергии в другой форме, определяет движение по кривой, так как оно не содержит реакции; два других определяют составляющие 
реакции. Вычисление упрощается, если имеется силовая функция 
. В этом случае уравнение кинетической энергии имеет вид
и, внося это значение юг в уравнение (2), можно будет определить реакцию, не зная движения.
Уравнение (1), написанное в виде
действительно идентично с уравнением кинетической энергии. Оно показывает, что движение не изменится, если деформировать кривую, не изменяя ее длины, и изменять при этом силу таким образом, чтобы не изменялась ее касательная составляющая. Эта операция отразится только на нормальной реакции. В частности, таким путем можно, не изменяя движения, преобразовать кривую линию в прямую и свести задачу к вопросу прямолинейного движения.
Дополнение. В качестве дополнения к сказанному выше, докажем следующую теорему:
Пусть свободная точка, начинающая двигаться из положения 
с последовательными начальными скоростями 
под действием сил, соответственно равных 
описывает одну и ту же траекторию С. Допустим теперь, что эта точка начинает движение по неподвижной кривой, имеющей форму траектории С, и что при этом на точку одновременно действуют силы 
, где 
— постоянные; тогда в этом движении нормальная реакция кривой будет направлена по главной нормали и будет обратно пропорциональна радиусу кривизны.
Пусть 
- скорости, которыми последовательно обладает точка в серии свободных движений. Естественные уравнения какого-нибудь из этих движений, например первого, будут
При несвободном движении в уравнения войдут нормальные реакции неподвижной кривой, и уравнения движения примут вид
Отсюда, на основании уравнений (1) получим сначала 
а затем 
и, интегрируя, найдем
где постоянная с имеет значение
Наконец,
Это равенство совместно с равенством 
и доказывает теорему, которую мы имели в виду.
Начальными скоростями можно распорядиться таким образом, чтобы постоянная с была равна нулю. В этом случае реакция будет все время равняться нулю и точка свободно опишет заданную кривую. Этот последний результат установил Бонне.
Например, материальная точка может свободно описывать один и тот же эллипс под действием пяти следующих сил: притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния со стороны каждого из фокусов, притяжения, пропорционального расстоянию со стороны центра и, наконец, притяжений со стороны осей, обратно пропорциональных кубу расстояний. Если, следовательно, заставить точку описывать эллипс под одновременным действием всех этих пяти сил при произвольных начальных условиях, то давление на эллипс будет обратно пропорционально радиусу кривизны.
